.07 Линейные отображения. Матрицы линейных отображений.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
- линейное отображение. Пусть 
- его матрица относительно
каких-то выбранных базисов в 
и в 
.
1. Доказать, что базисом в подпространстве 
являются все линейно независимые
столбцы матрицы 
. То есть для построения базиса в 
достаточно выбрать
максимальную линейно независимую подсистему столбцов матрицы 
.
2. Доказать, что базисом в подпространстве 
являются те вектора, которые
образуют ФСР ОСЛУ 
.
1. Пусть 
. По определению это означает, что существует такой 
, что
.
Тогда, если выбрать базисы в 
и в 
, то в соответствующих базисах последнее
равенство будет означать, что 
.
Однако, если мы умножаем матрицу 
на вектор
, то результат является ничем иным, как линейной комбинацией столбцов
матрицы 
с коэффициентами 
-ыми:
Следовательно, наш 
в соответствующем базисе является линейной
комбинацией столбцов матрицы 
с некоторыми коэффициентами.
Наоборот, ясно, что если какой-то вектор 
и при выборе соответствующих
базисов этот 
является линейной комбинацией столбцов матрицы 
с некоторыми
коэффициентами, то этот 
лежит в 
(а именно, этот 
можно получить,
применяя 
к вектору 
, координаты которого и есть коэффициенты той линейной
комбинации, которая даёт 
).
Следовательно,
Следовательно, базис в 
ищется стандартным алгоритмом поиска базиса в
линейной оболочке какого-то набора векторов - нужно просто выкинуть те вектора,
которые выражаются через остальные и оставить максимальный линейно
независимый поднабор.
2. 
по определению тогда и только тогда, когда 
. А при выборе
базисов в 
и в 
это равносильно тому, что
Следовательно, ядро отображения 
совпадает с подпространством решений
ОСЛУ 
. Следовательно, базис в 
- это в точности базис в этом
подпространстве решений ОСЛУ, а это в точности и называется ФСР ОСЛУ
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
