1. Пусть $∃λ ⁄= 0$ такая, что $A1 = λA2$ , $B1 = λB2$ , $C1 = λC2$ , $D1 = λD2$ . Но тогда ясно, что первое уравнение превращается в уравнение

λA2x + λB2y + λC2z + λD2 = 0

$λ$ можно вынести за скобки и на него уравнение сократить (ведь $λ ⁄= 0$ ) и мы получим в точности второе уравнение. Но тогда выходит, что мы получаем физически два одинаковых уравнения. Естественно, в таком случае они задают одну и ту же плоскость.

2. Пусть, наоборот, нам известно, что уравнения

A1x+ B1y + C1z +D1 = 0

A2x+ B2y + C2z +D2 = 0

задают одну и ту же плоскость.

Тогда, непременно, нормали к этим плоскостям должны быть коллинеарны (ведь это одна и та же плоскость.)

Нормаль к первой плоскости имеет координаты $n1 = (A1,B1,C1 )$ , нормаль ко второй плоскости имеет координаты $n2 = (A2,B2,C2)$ . И раз они коллинеарны, то существует такое $λ ⁄= 0$ , что $n1 = λn2$ , то есть $A1 = λA2$ , $B1 = λB2$ , $C1 = λC2$ .

Рассмотрим теперь какую-то точку $(x0,y0,z0)$ , которая лежит в первой плоскости. Тогда она удовлетворяет уравнению

A1x+ B1y + C1z +D1 = 0

, то есть

A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = 0

Но по предположению наши две плоскости совпадают, следовательно, она удовлетворяет и второму уравнению, то есть

A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2 = 0

Учитывая же наши соотношения выше ( $A1 = λA2$ , $B1 = λB2$ , $C1 = λC2$ ), мы можем преобразовать условие

A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = 0

к виду

λA x +λB y + λC z + D = 0 2 0 2 0 2 0 1

Вынося $λ$ за скобки:

λ(A2x0 + B2y0 + C2z0)+ D1 = 0

Однако, у нас еще было условие

A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2 = 0

Из которого следует

A2x0 + B2y0 + C2z0 = − D2

Подставляя это соотношение в

λ(A x + B y + C z )+ D = 0 2 0 2 0 2 0 1

Получаем

λ(− D2) +D1 = 0

Откуда $D = λD 1 2$ . И мы теперь доказали все что хотели.

06 Прямые и плоскости в трёхмерном пространстве.