Муниципалка 6 - 7 класс

Пусть у Дениса изначально было коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было . Из условия задачи получаем уравнение . Откуда получаем . Всего хамелеонов , то есть

Каждый участник выбывает, потерпев ровно два поражения. В ситуации, когда остались двое “финалистов”, общее количество поражений равно .

Если из турнира выбыло человек, то они суммарно потерпели поражений, а на счету “финалистов” поражений могло быть (у обоих “финалистов” не было поражений), (у одно из “финалистов” было поражение) или (у обоих “финалистов” было по одному поражению).

Учитывая, что и — чётные числа, уравнения и не имеют решений.

Приходим к уравнению , откуда , а общее количество участников равно

Из условия следует, что зелёные дарили кактусы фиолетовым, а фиолетовые — зелёным. Так как общее количество человечков нечетно, то какого-то вида больше, чем другого. Допустим, что зелёных больше, тогда какому-то зелёному человечку кактуса не досталось.

Пусть всего было крыс, где по условию. Тогда в первую ночь каждая крыса съела головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть головок сыра. Так как во вторую ночь крыс доедали сыр, суммарно они съели головок сыра. Эта дробь — целое число, а единственный делитель числа превышающий это само число поэтому И тогда всего сыра было съедено

Рассмотрим, как изменяется число, при переходе слева направо на одного человека. Если рядом стоящие дети разного пола, то число не изменяется. Если переходим от девочки к девочке, то число увеличивается на а если от мальчика к мальчику, то уменьшается на Таким образом, самое маленькое число в ряду могло увеличиться не более, чем на а значит, различных чисел не более

Приведём пример на различных чисел: поставим последовательно слева направо сначала всех мальчиков, затем всех девочек. Тогда числа в ряду будут:

— всего различных.

Каждый участник выбывает, потерпев ровно два поражения. В ситуации, когда остались двое “финалистов”, общее количество поражений равно 29. Если из турнира выбыло человек, то они суммарно потерпели поражений, а на счету “финалистов” могло быть или поражения. Учитывая, что и — чётные числа, приходим к уравнению , откуда , а общее количество участников равно 16.

Пусть в матчах Бразилия победит, а в матчах проиграет. Составим уравнение . Видим, что и . НОД , т.е.

а) . Тогда получим уравнение . Т.е. . Это возможно.

б) . Получим уравнение: . Откуда . Это невозможно, т.к. количество матчей уже превышает 38.

в) . Получим . Откуда , что также невозможно. Большие значения х не подходят, т.к. уже будет превышено число сыгранных матчей.

Первый способ.

Если бочка пуста на , значит, она заполнена на , то есть 30 литров составляют ее объема. Следовательно, объема бочки — это 7,5 л, а весь объём — это 75 л.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

Пусть объём бочки — литров. По условию задачи: . Тогда , то есть .

Из условия задачи следует, что от стоимости крямблика равны от стоимости крумблика. Это означает, что крямблик составляет от стоимости крумблика. Зяка оплатил полную стоимость крямблика и оставшиеся от стоимости крумблика. Всего, таким образом, он заплатил от стоимости крумблика. Значит, его расходы на превышают первоначально запланированные расходы.

Заметим, что можно посчитать сумму цифр этого числа.

Сумма цифр от 1 до 9 равна 45. Значит, чтобы посчитать сумму цифр числа, надо сначала посчитать сумму всех однозначных чисел и всех цифр в разряде единиц у двузначных чисел, она равна потом посчитать сумму все первые цифры у двухначных чисел, она равна учесть 100 и 101. В итоге сумма

При разложении квадрата на простые множители все простые делители входят в это разложение в чётной степени.

А наша сумма делится на 3, но не делится на 9. Значит, число квадратом являться не может.

Будем называть строку, столбец или диагональ, вдоль которой суммировали числа, линией.

Заметим, что всего есть 20 линий, состоящих из нечётного числа клеток (по 5 линий каждого направления). Так как все числа в таблице нечётны, то и все суммы в этих линиях нечётны. При этом они не могут превышать .

Нечётных чисел от 1 до 35 всего . Значит, по принципу Дирихле в каких-то двух линиях окажется одно и то же число.

Например,

Число делится на , если оно делится и на , и на . Так как сумма цифр равна , то сумма двух недостающих цифр должна равняться или Учитывая, что число должно делиться на а предпоследняя цифра равна то последняя цифра может быть лишь или или Тогда ответами будут числа:

Пусть меньшее из четырёх чисел равно . Тогда большее равно . Равными могут быть три больших или три меньших, откуда получаем два уравнения: и Из первого находим , и на карточках написаны числа Из второго находим , и на карточках написаны числа .

Пусть всего шариков . Тогда (оно должно быть кратно ). Зелёных и красных вместе оранжевых и голубых — а синих и жёлтых Если фиолетовых то имеем

Если то откуда фиолетовых хотя бы Всех шариков будет целое число и в сумме они дадут потому можем писать ответ.

Обозначим 15-литровую бочку через А, 9-литровую — В, 5-литровую — С.Перельем из А в В 9л, затем из В в С 5л. Тогда в В останется 4л. Перельем из С в А 5л, из В в С 4л. Наконец, перельем из А в В 9л и дольем в С 1л.

Нам известно, что от объёма первого контейнера составляют объёма второго контейнера. Обозначим объёмы через и , получим равенство

Значит, отношение объёмов составляет .

Посчитаем количество девочек, которые не были в Москве, не занимаются математикой, и не ездили на поезде. Получим , чего быть не может.

Заметим, что 2-й и 3-й высказываются о текущей остановке по-разному, а о предыдущей одинаково. Это означает, что среди них нет ни одного рыцаря, т.е. 2-й и 3-й — лжецы. Но 3-й и 1-й говорят о текущей остановке одинаково, значит, 1-й тоже лжец.

По условию любой из рыбаков мог бы раздать всех своих рыб другим рыбакам так, чтобы у остальных пятерых стало поровну по рыб. Значит, каждый поймал не более рыб.

Рассмотрим человека, который наловил больше всего рыб, назовём его Петрович.

Если Петрович поймал меньше рыб, то общий улов шести человек составляет не более рыб. При этом их должно быть , но неверно — получили противоречие. Значит, Петрович поймал не меньше рыб. Но при этом и не больше. Петрович поймал ровно рыб.

Когда другой математик раздаёт всех своих рыб другим рыбакам так, чтобы у остальных пятерых стало поровну по рыб, Петрович не получает ничего. Поэтому если Петрович уйдёт, остальные могут раздавать по-прежнему, и у всех снова будет по рыб. Что и требовалось доказать.