Муниципалка 6 - 7 класс

Понятно, что за столом были и мальчики, и девочки. Посмотрим, как сидели дети. За группой сидящих рядом мальчиков следует группа девочек, затем снова мальчики, снова девочки и так далее (группа может состоять и их одного человека). Группы мальчиков и девочек чередуются, поэтому их чётное число. Так как утверждений «большинство из нас мальчики» прозвучало семь, то неверны шесть утверждений «большинство из нас девочки», и групп тоже было шесть. Чередование верных и неверных утверждений означает, что в группах было по двое детей. Лишь сидящие рядом первый и последний ребёнок сказали одно и то же, поэтому в их группе три человека. Это мальчики, так как их большинство. Всего за столом сидели девочек и мальчиков. На рисунке показано, как именно ребята сидели за столом. Первый говорящий обведён в рамочку.

Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны соответственно. Тогда по условию , Из первого равенства а , и тогда из второго b Значит, либо что противоречит первому равенству, либо (аналогично), либо, наконец, Поэтому у Оли получится .

Предположим, что такое возможно. Так как всего чисел , то разобьем их все на троек подряд идущих чисел. В каждой тройке произведение чисел положительно, поэтому произведение всех чисел также положительно. Но произведение чисел и числа равно , то есть отрицательно.

Так как числа состоят из одинаковых цифр, они дают одинаковые остатки при делении на . Значит, их разность должна делиться на . Однако на не делится, противоречие.

Покажем, как надо действовать. Сначала 48 электриков меняют по одному плафону в 48 люстрах, на это уходит 5 минут, и у 48 люстр один плафон заменен, у 12 — ни один не заменен. Затем 12 электриков меняют плафоны у тех люстр, у которых еще не меняли, остальные 36 электриков меняют в 36 люстрах вторые плафоны. На это опять уходит 5 минут, получаем 36 люстр с двумя новыми плафонами и 24 — с одним. Теперь 24 электрика меняют вторые плафоны, и 24 — третьи. Теперь 24 люстры с тремя новыми плафонами и 36 — с двумя. Теперь 36 электриков меняют 36 третьих плафонов и 12 электриков — 12 четвёртых плафонов. Теперь 48 люстр с тремя новыми плафонами и с четырьмя. Последний этап 48 электриков меняют последние плафоны на 48 люстрах. Итак, за 5 этапов, т.е. за 25 минут, все плафоны в люстрах заменены. Покажем, что меньше чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно заменить плафонов. На каждый плафон нужно 5 минут, значит, всего не меньше, чем минут. Но у нас есть 48 электриков, значит, это можно сделать за 25 минут, но никак не меньше.

16 — это степень двойки. Решим эту задачу сначала для четырех чашек, потом для 8, потом для 16.

Разделим чашки на пары: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10, 11-12, 13-14, 15-16 и уравняем количества чая в каждой паре чашек. Теперь у нас две совершенно одинаковые восьмерки: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Уравняем количество чая в чашках первой восьмерки и точно таким же способом в чашках второй. Разделим эти чашки по парам (для первой восьмерки) 1-3, 5-7, 9-11, 13-15, получим 2 одинаковые четверки: 1, 5, 9, 13 и 3, 7, 11, 15. В каждой четверке разделим четыре чашки по парам и, уравняв количества воды в этих парах, сведем задачу к случаю двух чашек. Но в двух чашках количество воды можно уравнять по условию. Со второй восьмеркой чашек делаем точно так же.

Сначала четырежды обменяем черные шарики с белыми:

ЧЧЧЧББББ ЧЧЧБЧБББ ЧЧБЧЧБББ ЧЧБЧБЧББ ЧЧББЧЧББ.

Это обошлось нам в 2 руб. 40 коп. Теперь перекрасим два левых черных шарика в белый цвет, а два правых белых — в черный. На это мы потратим еще 4 руб., итого ровно 6 руб. 40 коп.

Фальшивых монет может быть две или одна. Занумеруем монеты числами от 1 до 6 в порядке их расположения. Первым взвешиванием на левую чашку кладём 1, 2, 3, на правую 4, 5, 6. Если наступит равновесие, то фальшивых монет две. Если нет, то фальшивая монета одна и лежит на более тяжёлой чашке. Сравним две монеты с этой чашки. Если равновесие, то фальшивая третья, иначе фальшивая на перетянувшей чашке. В случае равновесия в первом взвешивании найдём за второе взвешивание фальшивую среди 1, 2, 3, а вторая фальшивая лежит напротив.

Способ 1. На половину свитера идёт столько же шерсти, сколько и на 2 шапочки, значит на свитер уходит столько же шерсти, как и на 4 шапочки. Тогда 4 шапочки и три носка требуют столько же шерсти, как и 5 шапочек. Поэтому одна шапочка равносильна трём носкам. Всего можно связать шапочек или 21 носков.

Способ 2. Пусть на носок, шапочку и свитер уходит соответственно и шерсти (не важно, в каких единицах взяты неизвестные). Тогда шерсти у бабушки в первом клубке и во втором. Требуется выразить сумму через Выразим из второго уравнения и подставим результат в первое: , откуда Тогда , то есть из всей шерсти можно связать 21 носков.

Предположим, что оба мальчика не ошиблись. Поскольку Петя не ошибся, то общее количество принесённых конфет чётно (в два раза больше количества конфет, принесённых Петей). Треть от чётного числа - тоже чётное число. Значит, количество конфет, которые принёс Коля, чётно. Но, по его словам, он отдал девочкам нечётное количество конфет, так как количества конфет, доставшихся Маше и Тане, имеют разную чётность (различаются на 3, а сумма двух чисел разной чётности нечётна. Получили противоречие.

Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину и длиннее любой его стороны. За один час вместе обе машины проехали бы трижды сторону и трижды диагональ, так как одна проезжает за час две стороны, равные , и одну диагональ, а вторая проезжает за час две диагонали, и одну сторону, равную Значит, за треть часа, то есть за 20 минут вместе машины проедут одну сторону, равную , и одну — равную диагонали. А весь описанный маршрут до встречи на они проедут за вдвое больший промежуток времени.

Равенство в разряде сотен могло быть только в двух случаях: , то есть , такое могло быть только если не было переносов из десятков в сотни; а также если (в случае переноса единицы из десятков в сотни). Но сумма заканчивается на , поэтому четная цифра, значит и тогда

Далее, ни в К + К, ни в Р + Р, ни в В + В нет перехода через десяток (слагаемые и сумма - шестизначные и нет соответствующих переносов), значит, все эти цифры не больше 4 (и ненулевые: ). При этом , так как . Отсюда . Осталось два варианта для цифры Р, и оба подходят.

Пусть — цифра числа на позиции . Тогда , поскольку число не может начинаться с нулей. Далее (если , то и аналогично для следующих). Если в числе есть , то , что невозможно, поэтому цифр в числе не более шести.

Пример строится напрямую из оценки: . Заметим, что мы доказали, что в примере не больше цифр, но почему это число наибольшее подходящее шестизначное? Если нашлось число больше, то в нём , что невозможно (если в нём , то все остальные цифры определены однозначно).

В качестве примера рассмотрим табличку с отмеченными клетками

Осталось показать, что меньше отметить нельзя. Для этого рассмотрим первую и последнюю строчку. На каждую из них требуется хотя бы две отмеченные клетки в ней или в соседней, чтобы туда нельзя было добавить ещё одну (поскольку одна отмеченная покрывает не более трёх клеток из строчки). Но поскольку блоки (две нижние и две верхние строчки), не пересекаются, то нужно отметить хотя бы точки, откуда имеем оценку.

Так как 64 не делится на 3, то всю доску (64 клетки) нельзя покрыть не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток.

Покажем, что любые 63 покрашенных клеток можно покрыть такими уголками. Разобьём квадрат на 16 квадратов размером , тогда единственная не покрашенная клетка попала в какой-то один из них.

Любые три полностью покрашенных квадрата можно покрыть уголками из трёх клеток:

А в четвёртом квадрате любые три покрашенные клетки всегда можно покрыть одним уголком.

Пусть мальчиков , а девочек . Тогда , а также . Вычтем одно неравенство из другого, получим , при этом , откуда (равенства быть не может, поскольку ), то есть . При этом , значит, . В силу выполнено , а из следует , откуда .

Первую половину пути Вася шёл с одинаковой скоростью и потратил на неё минут. На вторую половину в первый раз он потратил , а во второй — минут или на пять минут меньше, откуда минут, а всё время в пути в каждой случае равнялось минут.

Пусть это число равно , тогда имеем

Откуда . Если , то , что невозможно, поскольку , тогда остаётся только , то есть и . Поскольку , то в силу симметрии имеем вариантов: .

Пусть Пятачок тратит на путь до сосны со своей обычной скоростью время , а на путь от сосны до дома Винни-Пуха — время . Тогда Винни-Пух потратил на дорогу время , а Пятачок (два раза с обычной скоростью и один с в два раза быстрее). Отсюда и . Осталось заметить, что данное отношение является нужным нам отношением расстояний до сосны от каждого дома (достаточно каждое время умножить на скороть Пятачка).

Заметим, что центральная цифра будет участвовать в суммах и все они будут различны, потому разных чисел хотя бы . В качестве примера рассмотрим

Где различными суммами будут .