Муниципалка 8 - 9 класс

Подсказка 1

Понятно, что как-то явно посчитать количество нужных цепочек мы не сможем. Поэтому идея такая: давайте попробуем каждой цепочке с положительной суммой сопоставлять цепочку, сумма чисел которой не положительна!

Подсказка 2

Такс, подумаем какие цепочки мы можем сопоставлять друг другу. Пусть есть какая-то цепочка, сумма которой положительна! Что можно сказать про цепочку, которая дополняет первую до всей окружности? То есть, в этих двух цепочках есть все 100 чисел и они не пересекаются.

Подсказка 3

Верно, такая цепочка не может иметь положительную сумму! Иначе сумма всех чисел была бы хотя бы 2. Таким образом, мы научились любой цепочке с положительной суммой находить пару в виде дополняющей её цепочки, причем сумма второй цепочки не больше нуля! Остаётся правильно посчитать число нужных нам цепочек и не забыть про цепочку, которая является нашей окружностью из 100 чисел.

Подсказка 1

Нам дали в задаче хорошую фигуру, но давайте её ещё "улучшим", чтобы связать отрезки на картинке или получить более удобную конструкцию. Тогда до какой фигуры логично достроить нашу картинку?

Подсказка 2

Да, конечно же до квадрата, и, чтобы точно на картинке всё было связано, продлим AP до пересечения со стороной квадрата в точке N. У нас достаточно много прямых уголков образовалось, четырёхугольников и прямоугольных треугольников. Нельзя ли что-то понять про один из четырёхугольников?

Подсказка 3

Верно, один из них является вписанным, а значит углы AMC и ABN равны. Тогда, если эти два угла равны PMB, то становится понятно, что же нам в итоге надо доказать. Равенство треугольников PMB и PNB. Получается для этого нам не хватает только равенства MB и BN. Как это можно доказать? Может быть стоит воспользоваться какими-то двумя другими треугольниками для этого.

Подсказка 4

Верно, можно сказать, что треугольники ACM и ABN равны по катету(стороне квадрата) и острому углу. Откуда и получаем равенство сторон, а значит, как мы поняли до этого, решаем задачу. Победа!

Подсказка 1

Давайте задавать себе правильные, наводящие вопросы. Для начала мы ничего не знаем про количество белых фишек. Попробуем это исправить. По условию никакие две белые фишки не стоят рядом, а диаметрально противоположные различных цветов. Учитывая, что фишек у нас всего двух цветов, какой вывод из этого можно сделать?

Подсказка 2

Верно, делаем вывод, что чёрные фишки тоже чередуются, а белых фишек столько же, как и чёрных, - 2n штук. Давайте предположим, что у нас получилось расставить фишки по окружности. Теперь попробуем воспользоваться ещё вторым условием задачи.

Подсказка 3

Посмотрим на две произвольные фишки на диаметре. Что тогда можно сказать о количестве фишек между ними, и не будет ли там противоречия?

Подсказка 4

Ага, фишек между ними будет (4n - 2)/2 = 2n - 1. Это нечётное число, а у нас фишки одинаковых цветов не стоят рядом.

Подсказка 5

Получаем противоречие, так как крайние фишки среди 2n-1 будут одноцветные., а должны чередоваться Победа!

Подсказка 1

Как мы знаем (или не знаем) залог успешного решения задачи- удобно переписать условие. Давайте обозначим за n- количество учеников, за a(i)- количество решенных задач i-ого ученика и S=a(1)+a(2)+...+a(n). Как выглядит условие задачи в этих обозначениях?

Подсказка 2

Для любого номера i от 1 до n выполнены неравенства: (S-a(i))/5<a(i)<(S-a(i))/3. Это равносильно тому, что S/6<a(i)<S/4. Нас не сильно интересуют сами значения a(i), ведь нам нужно найти n. Что можно сделать с этими двойными неравенствами (их n штук), чтобы a(i) исчезли?

Подсказка 3

Конечно, сложить! Тогда мы получим двойное неравенство: nS/6<S<nS/4. Поделив все на S, получим, что n/6<1<n/4. Произошла магия и осталось только условие на n. Я верю, что вы справитесь и найдете все n, которые удовлетворяют этим неравенствам!

Подсказка 1

Сомножители уменьшили, а произведение при этом увеличилось, подумайте, как такое возможно?

Подсказка 2

Такое возможно только, если после уменьшения на 3, двое из сомножителей стали отрицательными. Какие значения могли иметь эти два множителя?

Подсказка 3

Если числа были натуральными, а после уменьшения на 3 стали отрицательными, то это значит, что каждый из сомножителей был равен 2 или 1. Какие значения из этих двух могли принимать множители?

Подсказка 4

Если оба равнялись 2, то произведение только уменьшилось бы. Если один равнялся 1, а второй - 2, то произведение стало бы меньше из-за уменьшения третьего множителя. Значит, оба множителя равнялись одному. Тогда какое значения принимал третий множитель?

Подсказка 1

Видим корни - пишем ограничения, возможно, они уже как-то приблизят нас к ответу.

Подсказка 2

Получили 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Если оценивать грубо, без оглядки на уравнение, то можно сказать, что x + 7y ≤ 8, но почти очевидно, что это не будет ответом, так что давайте поработаем над уравнением. У нас тут куча корней да еще и две переменных, кроме разложения на множители, пожалуй, тут ничего и не придумаешь. Подуйте, как здесь это лучше всего сделать.

Подсказка 3

Давайте из первого и третьего слагаемого вынесем √(7x), а из второго и четвертого -√(1-x). Как тогда будет выглядеть наше уравнения после вынесения разложения на множители?

Подсказка 4

Мы получаем два множители, один из которых зависит от x, а второй от y, а их произведение равно нулю. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом мы получаем два случая. Рассмотрите оба и найдите максимально значение x+7y для каждого.

Подсказка 1

Подумайте, на что нам намекают выражения -(x+y+z), xy+yz+zx, -xyz.

Подсказка 2

По теореме Виета для кубического уравнения эти три выражения являются коэффициентами при t^2, t и свободным членом соответственно, при условии, что коэффициент при t^3 равен 1 и x, y, z являются корнями данного уравнения. Запишите такое уравнение и подумайте над значениями его корней.

Подсказка 3

Заметим, что сумма коэффициентов такого уравнения равна 0. А значит, 1 является корнем уравнения. Подставив 1 в условие вместо одного из неизвестных, получим, что оставшиеся два противоположны по знаку. Тогда чему равна сумма кубов этих трех чисел?

Подсказка 1

Попробуем провести через точку K прямую, параллельную стороне прямоугольника ABCD. Отношения площадей каких фигур можно найти?

Подсказка 2

Верно! Если площадь треугольника ABK равна S, то можно выразить площади двух прямоугольников, на которые разбивает наша параллельная прямая исходный прямоугольник. А как еще можно найти отношение их площадей?

Подсказка 3

Конечно! Из формулы получаем, что отношение площадей этих прямоугольников равно отношению сторон BK и CK. Как теперь найти нужный отрезок?

Подсказка 1

Угол BOA равен 60°. Тогда можно построить на AO точку E такую, что BOE — равносторонний треугольник. А можно ли найти равные треугольники?

Подсказка 2

Верно, ABE и BOC равны. Тогда AE = CO, поэтому AO = CO + BO. А что можно получить аналогичным построением равностороннего треугольника с точкой F на отрезке DO?

Подсказка 1

В турнире с 10 игроками, проходящем в 1 круг, разыгрывается 10⋅9/2= 45 очков. Какое наибольшее количество очков мог набрать участник, занявший абсолютное последнее место?

Подсказка 2

Верно, 4! Ведь иначе он набрал хотя бы 4,5, а это значит, что остальные набрали хотя бы 5, т.е. всего хотя бы 49,5 очков. А какое наименьшее количество очков мог набрать победитель турнира, в котором было 8 участников?

Подсказка 3

Верно, тоже 4! Ведь иначе он набрал не более 3,5, а это значит, что остальные набрали не более 3, т.е. всего не более 24,5 очков, а всего их 7⋅8/2=28. Сколько тогда очков мог набрать Петя?

Подсказка 4

И снова верно, 4! Ведь он стал победителем турнира среди восьми человек и абсолютным проигравшим в турнире среди 10 человек, а это значит, что количество его очков не меньше 4 и не больше 4, т.е. 4.

Подсказка 1

Для начала подумайте, через какое время они снова будут на минимальном расстоянии друг от друга?

Подсказка 2

Через НОК(20, 28) = 140 секунд! За это время Иван пробежал 7 кругов, а Петр - 5. Теперь подумайте вот над чем: в каком случае между ними будет максимальное расстояние?

Подсказка 3

Когда один пробежал на половинку круга больше, чем второй! Когда они вернулись к изначальному положению с минимальным расстоянием друг от друга, Иван пробежал на 2 круга больше за 140 секунд. Тогда через какое время он пробежит на половину круга больше?)

Подсказка 1

Очевидно, что среди наших трех чисел будут хотя бы 2 одного знака (пусть это х и у). Стоит попробовать поработать с ними. Принесет ли хоть одно неверное неравенство?

Подсказка 2

Из неравенств x+y>0 и x+2y<0 одно неверно. Получается, что либо у нас появятся неверные неравенств а такого же типа, либо же существует число, знак которого отличается от двух других (y и z). Как найти еще одно неверное неравенство?

Подсказка 3

Чтобы найти еще одно неравенство, нужно сравнить числа y + z и y + 2z.

Подсказка 1

Можно заметить, что выражения очень похожи между собой...Попробуйте этим воспользоваться при нахождении точек пересечения)

Подсказка 2

Вспомните, что точки пересечения параболы и прямой - это корни уравнения, где с одной стороны - функция параболы, с другой - прямой.

Подсказка 1

Давайте посмотрим, как наша дробь изменяется со временем. Пусть прошло n секунд, тогда чему будет равен числитель и чему будет равен знаменатель дроби?

Подсказка 2

Верно, числитель равен n+1, а знаменатель равен 7n+3. Если дробь сократима на 11, то её числитель и знаменатель делятся на 11, из условия задачи можно понять, что конец света не наступит, а значит не бывает так, что они оба делятся на 11. Как-то тяжело перебирать все n и проверять условия на делимость, не могли бы как-то избавиться от n?

Подсказка 3

Действительно, если A делится на 11 и B делится на 11, то их разность тоже будет делиться на 11, остаётся только применить этот факт и радоваться противоречию!

Подсказка 1

Часто в задачах на делимости полезно переходить от чисел к их остаткам. Давайте попробуем понять, какие остатки могут быть у простого числа по модулю 6?

Подсказка 2

Верно, это 1 и 5, иначе наше простое число было бы не таким простым и делилось бы на 2 или на 3. А какие тогда остатки дают квадраты простых чисел по модулю 6?

Подсказка 3

Да, только 1, получается мы каждое из наших n чисел можем заменить на 1, какая тогда получится сумма и что мы про неё знаем?

Подсказка 1

Давайте попробуем оценить количество слагаемых, если бы жизнь была прекрасна, и они все были бы наименьшими возможными, а потом будем спускаться вниз и искать противоречия, пока не сможем построить пример.

Подсказка 2

Верно, сумма 45 наименьших нечётных чисел уже 2025 > 2019, а может ли быть сумма из 44 слагаемых, а из 43?

Подсказка 3

Если бы было 44 нечётных слагаемых, то их сумма была бы чётной, а 2019 - нечётное число, тогда давайте попробуем построить пример для 43 чисел, немного поменяв сумму наименьших нечётных чисел.

Подсказка 1

Раз нужна делимость суммы степеней простых, то имеет смысл рассмотреть, какой остаток будет давать каждое из них. Подумайте, могут ли при таком условии две четвёртые степени простых числа давать разные остатки?

Подсказка 2

Верно, разные остатки у них быть не могут, потому что тогда можно сложить n-1 число с одним остатком и последнее с другим. Легко проверить, что эта сумма не кратна n. Но тогда какой самый простой остаток они могут давать?

Подсказка 3

Ага, остаток 1 самый простой и подходящий. Тогда сумма любых n простых будет делится на n. Давайте разложим p⁴ - 1 на множители. Получилось три множителя. Теперь попробуйте посчитать, на какие степени простых это число максимум может делится. Полезно считать сразу для маленьких простых, например, 2, 3 и 5. Какое же n у вас получилось?

Подсказка 4

Верно, если всё правильно посчитано, то n=240 максимальное число. В разложении на скобки несложно понять, что одна из скобок будет делиться на 3, какая-то из скобок на 5, и в совокупности они будут делится на 16 (не забудьте, что простые у нас больше 10). Почему же больше нельзя? Раз сами степени простых дают одинаковый остаток при делении на n, то и их разность тоже будет делиться на n. Значит, вам нужно просто подобрать такие две пары простых, что их НОД будет 240. Это решает задачу, победа!

Подсказка 1

Понятно, что сразу хочется рассмотреть дискриминант) он будет равен 4m² - 4n². Может тут есть какая-то симметрия?

Подсказка 2

Вспомните, что m и n - различные числа, и если есть трехчлен x² + 2mx + n², то есть и x² + 2nx + m²)

Подсказка 1

Попробуйте замостить всю доску фигурками Г, из этого понятна будет оценка на кол-во закрашенных клеток)

Подсказка 2

Да, можно просто рассмотреть прямоугольник 2 на 3, замостить его двумя фигурками Г, а после разбить наш квадратик на 6 таких прямоугольников! Выходит, что всего у нас тут 12 фигурок Г. Значит, хотя бы 12 клеток нам потребуется. Попробуйте придумать пример на 12)

Подсказка 1

Если аккуратно нарисовать картинку, то может показаться, что треугольники △ABL и △ALP равны. Как вы думаете, это совпадение?

Подсказка 2

Конечно нет, ведь они действительно равны по второму признаку! Тогда BL=PL. По условию BL=CP ⇒ △LPC- равнобедренный. Что тогда можно сказать про уголок ∠APL?

Подсказка 3

Т.к. он внешний для равнобедренного треугольника △CPL, то ∠APL=2∠LCP. Мы хотели доказать, что ∠ABC=2∠BCA=2∠LCP. Значит для счастья нам осталось понять, что ∠APL=∠ABC. Попробуйте самостоятельно это понять!