Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Тема АЛГЕБРА

Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, степени, модули, корни)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#51847Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

x2-− |x|−-12 log13 log2 x +3 > 0.

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно следующему

x2− |x|− 12 1< ---x+-3---<2

(1)

a) Пусть $x> 0,$ тогда $x2− |x|− 12 =(x− 4)(x+ 3)$ и неравенство (1) примет вид $1 <x − 4< 2,$ откуда $5< x< 6.$

б) Пусть $x< 0,$ тогда неравенство (1) записывается в виде

2 1< x-+-x−-12< 2 x+ 3

(2)

Если $− 3< x< 0,$ то неравенство (1) равносильно неравенству $x+ 3< x2+ x− 12 <2(x+ 3)$ или системе неравенств

{ x2− x− 18 <0, { x1 <x <x2 x2− 15 >0, откуда |x|>√15-

где $√-- √-- x1 = 1−273,x2 = 1+273$ . Система неравенств

{ |x|> √15 −3< x <0

несовместна. Если $x< −3,$ то система (2) равносильна системе

{ (x− x1)(x − x2)> 0 |x|< √15

откуда $√-- − 15 <x <x1,$ так как $√ -- x1 > − 15.$

Ответ:

$(−√15;1−√73)∪(5;6) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#67083Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение уже разложено на множители, так что решаем совокупность! Из уравнения на тангенс несложно выразить x.

Подсказка 2

Во втором уравнении есть логарифм, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, входят ли они в ОДЗ!

Подсказка 3

Второе уравнение также несложно решить, если понять, когда логарифм будем равен нулю.

Подсказка 4

В первом уравнении есть тангенс, поэтому уже для найденных значений не забываем проверить, определён ли он!

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#70491Максимум баллов за задание: 7

Если действительные числа $a,b,c$ упорядочить по нестрогому возрастанию, получив тройку $x ≤x ≤ x , 1 2 3$ то число $x 2$ будем называться средним из чисел $a,b,c.$ Найдите все значения $t,$ при каждом из которых среднее из трёх чисел

3 t 1 a= t − 100t; b= 2− 16; c= sint− 2

положительно.

Источники: Ломоносов-2022, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Среднее из трёх чисел положительно, а числа заданы с параметром да еще и в виде функций... Сравнивать такие числа реально сложно, надо подумать, как можно переформулировать вопрос.

Подсказка 2

Если рассуждать в общем, то для того, чтобы среднее из трех чисел было положительно, среди них должно быть не менее двух положительных, иначе условие задачи не выполниться (два числа будут неположительными, а среднее по нестрогому возрастанию уж точно!)

Подсказка 3

То есть нам подойдут случаи, когда два или три числа положительны. Теперь поймем, когда же наши числа будут положительными = найдем нули функций и отметим их на вещественной прямой.

Подсказка 4

Сначала можно отметить нули чисел(функций) a и b, так как кол-во их нулей конечно, расставить знаки функций на каждом промежутке и заметить, что некоторые промежутки нам уже подходят, а некоторые - точно нет.

Подсказка 5

Осталось понять знаки числа(функции) с, это можно сделать только на уже потенциально подходящих нам промежутках, выписать их объединение в ответ.

Показать ответ и решение

Напрямую значения $a,b,c$ сравнивать сложно. Однако, чтобы среднее из трёх чисел было положительным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере два числа из тройки были положительны.

3 a= t − 100t= t(t− 10)(t+ 10)> 0⇒ t ∈(−10;0)∪ (10;+ ∞)

t b= 2 − 16> 0⇒ t> 4

( ) c= sint− 1> 0⇒ t∈ 2πn+ π;2πn+ 5π , где n ∈ℤ 2 6 6

Нужно, чтобы хотя бы два из трех чисел были положительны. $a> 0$ и $b> 0$ при $t> 10,$ область $(10;+∞ )$ идёт в ответ. $a≤ 0$ и $b≤ 0$ при $t∈(−∞;− 10]∪ [0;4],$ эта область в ответе быть не может. На оставшейся области $t∈ (− 10;0)∪(4;10]$ положительно только одно из чисел $a,b.$ Значит, в ответ пойдут те её части, где $c> 0.$ Посмотрим, как пересекаются

( π 5π ) t∈(−10;0)∪ (4;10] и t∈ 2πn+ 6;2πn + 6 , где n ∈ℤ

При $n =0$ получим интервал $( ) t∈ π6;5π6 .$ Он с областью $t∈(−10;0)∪ (4;10]$ не пересекается, ведь $0< π6 < 5π6-< 4.$

При $n =1$ получим интервал $( ) t∈ 2π+ π6;2π+ 56π .$ Он лежит в области целиком, ведь $4< 2π+ π6 <2π + 5π6 <10.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 1$ получим интервал $t∈ (− 2π + π6;− 2π + 5π6 ).$ Он тоже лежит в области целиком, ведь $− 10< −2π+ π6 <− 2π + 5π6-< 0.$ Интервал идёт в ответ.

При $n =− 2$ получим интервал $( π 5π-) t∈ − 4π+ 6;−4π+ 6 .$ Тут получается такое неравенство: $π 5π − 4π+ 6 < −10< −4π+ 6 ,$ интервал пересекается с областью $t∈ (−10;0)∪(4;10],$ пересечение - это множество $( 5π) −10;− 4π + 6 ,$ которое пойдёт в ответ.

При остальных $n$ интервалы заведомо лежат либо далеко левее $− 10,$ либо правее $10,$ и на ответ не повлияют.

В итоге ответ складывается из объединения множеств

( π 5π) ( π 5π) ( 5π) (10;+∞ ), 2π+ 6;2π+ 6- , − 2π + 6;−2π+ 6- , −10;−4π+ -6

Ответ:

$(− 10;−4π+ 5π)∪(−2π + π ;− 2π + 5π)∪ (2π + π;2π + 5π)∪ (10;+∞ ) 6 6 6 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#70775Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

log (x2+6x) 2 log 5 2 3 4 + 6x≥ |x + 6x| 4 − x

Источники: Физтех 2022, 2.3 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, запишем ОДЗ неравенства и заметим, что тогда мы можем избавиться от модуля. Далее надо хорошо преобразовать наше неравенство. Попробуем сделать так, чтобы в степенях у нас везде были логарифмы с x²+6x. Как можно преобразовать тогда x²+6x? Причём он нам нужен с определённым основанием.

Подсказка 2

Верно, x²+6x мы можем преобразовать по свойству логарифма. А что же делать с оставшейся частью (x²+6x)^log_4(5)? Попробуйте понять, почему a^log_b(c)=c^log_b(a). Это несложно сделать, записав логарифм по-другому. Теперь примените это к (x²+6x)^log_4(5). Что же можно сделать, когда мы получили везде одинаковое "некрасивое" выражение?

Подсказка 3

Конечно, можем сделать замену на y! А далее для удобства поделить на 5^y обе части неравенства. Получим какое-то интересное выражение. Прям по-честному решать его не хочется. Давайте подумаем, как схитрить. А что если рассмотреть выражение слева, как функцию? Какие выводы по этому поводу можно сделать? Попробуйте подставить ещё хорошие значения для y.

Подсказка 4

Верно, слева у нас убывающая функция, как сумма убывающих. И причём значение в 2 равно 1. Значит, можно сделать вывод, что неравенство верно при y ⩽ 2. Осталось только сделать обратную замену, решить исходное неравенство с учётом ОДЗ, и победа!

Показать ответ и решение

Область допустимых значений — это $x∈ (−∞;−6)∪ (0;+∞ ),$ а неравенство эквивалентно следующим:

log (x2+6x) ( 2 ) ( 2 )log45 3 4 + x + 6x ≥ x + 6x

log4(x2+6x) log4(x2+6x) log4(x2+6x) 3 + 4 ≥ 5

( 3)log4(x2+6x) (4)log4(x2+6x) 5 + 5 ≥ 1

Рассмотрим неравенство

( )y ( )y 3 + 4 ≥ 1 5 5

Функция $h(y)= (35)y+(45)y−$ убывающая (как сумма убывающих функций). Несложно заметить, что $h(2) =1$ , поэтому если $y >2$ , то $h(y)< 1$ , а если $y < 2$ , то $h(y)> 1$ . Таким образом, это неравенство даёт $y ≤2$ , а исходное неравенство эквивалентно неравенству

log4(x2+ 6x) ≤2

Отсюда получаем

0< x2+ 6x≤ 16 ⇔ x∈ [−8;−6)∪(0;2]

Ответ:

$[−8;− 6)∪(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#76461Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.

Подсказка 2

Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.

Подсказка 3

Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#90127Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

( )∘log√3-ctgx−1 3 > 1. 7

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

{ ctgx> 0 log√-ctgx ≥0 ⇔ ctgx≥ 1 3

Решим неравенство на ОДЗ. Так как основание $3< 1 7$ , то при переходе на неравенство с показателем степени знак неравенства изменится на противоположный:

∘ --√----- √- √- log 3ctgx− 1< 0⇔ log 3ctg x< 1⇔ ctgx < 3

$PIC$

Решим это неравенство с помощью окружности, сразу пересекая его решения с ОДЗ (нарисовали ось котангенса, отметили точки 1 и $√ - 3$ , отметили часть круга, соответствующую подходящим углам). Таким образом, ответ:

( ] x∈ π+ πn;π+ πn ,n∈ ℤ. 6 4

Ответ:

$(π + πn;π + πn],n ∈ℤ. 6 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#90593Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√4x2−12x+9- x−1 2 + 4 = 6

Показать ответ и решение

Перепишем в другом виде:

(2x−3)2 x−1 |2x−3| x−1 2 + 4 =6⇐ ⇒ 2 + 4 = 6

Теперь рассмотрим 2 случая:

1.

$2x− 3≥ 0, x≥ 32$

|2x− 3| x−1 x 3 2 + 4 =6 ⇐⇒ 4 = 16=⇒ x= 2≥ 2

2.

$2x− 3< 0, x< 32 ⇐⇒ 4x < 8$

2|2x− 3|+ 4x−1 =6 ⇐⇒ -8 + 4x = 6⇐⇒ (4x)2− 24⋅(4x)+ 32 =0 =⇒ 4x 4

x √ - √- =⇒ 41,2 = 12± 112 =⇒ x= log4(12± 112)

Проверяя условие $x 4 < 8$ , получаем ответ.

Ответ:

$2; log (12− √112) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#90849Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ -------9-------17 9 1 12sinx− 2 cos2x+ 2-= 8 +4sin x+ 2cos2x.

Показать ответ и решение

Сначала заметим, что:

9 17 2 2 12sinx− 2 cos2x+ 2 = 4+ 12 sinx+ 8sin x= (2+3sinx)

Тогда из исходного уравнения получим:

9 1 |3sin x+ 2|= 8 +4sin x+ 2cos2x

Рассмотрим 2 случая:

I.

$3sinx +2≥ 0⇐ ⇒ sinx≥ − 23$

Тогда модуль раскроется со знаком $+$ и получится:

1 3 4sin2x− 8sinx +3 =0 =⇒ sinx= 2, sin x= 2

Под условие ограниченности синуса и текущего случая подходит $sinx= 1 2$

II.

$3sinx +2< 0⇐ ⇒ sinx< − 2 3$

Модуль раскрывается со знаком $−$ , имеем:

4sin2x − 56sinx − 29= 0=⇒ sin x= − 1, sin x= 29 2 2

В этом случае подходящих решений нет.

Единственный корень $1 sinx= 2$ , откуда и получаем ответ.

Ответ:

$π + 2πn,5π +2πk, k,n∈ Z 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#91676Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

1 (9 −x) x log7 2 − 2 ⋅7 > 1.

Показать ответ и решение

Из того, что аргумент логарифма должен быть положительным, получаем $log 4 <x 79$ . Понятно, что $x= 0$ нам не подходит. Заметим, что наше неравенство равносильно неравенству

1log (9−2⋅7−x) 7x 7 2 > 7

7log7(92−2⋅7−x)1x > 7

(9 − 2 ⋅7−x) 1x > 7. 2

Рассмотрим случай $x< 0$ . Тогда при возведении обеих частей неравенства в степень $x$ мы должны сменить знак неравенства

9 2 2 − 7x < 7x.

Сделаем замену $t= 7x$ . Получаем неравенство $2t2− 9t+4 >0$ при условии $t< 1$ . Решением является $t< 12$ , то есть $x< log7 12.$ Вспомнив про первое полученное неравенство, получаем $log7 49 < x< log7 12$ .

Осталось рассмотреть случай $x> 0$ . Сделав аналогичные преобразования получаем $log7 12 <x <log74$ . Но $x> 0$ , откуда в этом случае нам подходят $0 <x <log74.$

Ответ:

$(log 4;log 1)∪ (0;log 4) 79 72 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#91929Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(∘3---√-)x (∘3---√-)x 3+ 8 + 3− 8 = 6

Показать ответ и решение

Воспользуемся равенством $3− √8-=-1√- 3+ 8$ и положим $(3∘3-+√8-)x =t.$ Тогда уравнение примет вид $t+ 1= 6 t$ или $t2− 6t+ 1$ , откуда $√- √- t1 = 3+ 8,t2 = 3− 8.$ Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

∘3---√- x √ - 3∘---√- x √- 1 ( 3+ 8) = 3+ 8, ( 3+ 8) = 3− 8= 3+-√8

откуда $x1 = 3,x2 =− 3.$

Ответ: -3; 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#92003Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

1∕2+log cosx 1∕2 1∕2+log sinx 3 3 + 6 = 9 9

Показать ответ и решение

Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех вещественных $x$ , одновременно удовлетворяющих неравенствам $sinx> 0$ и $cosx >0$ . В этой области данное уравнение равносильно такому:

√- √- 3 cosx+ 6= 3sin x.

Получившееся уравнение можно переписать так:

√3- 1 √2- 2 sin x− 2cosx = 2 ,

или

π √2- sin(x− 6)= -2-.

Последнее уравнение имеет две серии решений

x= π + π+ 2πn 6 4

x= π+ 3π +2πm 6 4

Из этих решений нам будут подходить только удовлетворяющие ОДЗ исходного уравнения, откуда получаем ответ.

Ответ:

$5π +2πn,n∈ ℤ 12$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#92013Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2 ) log4 4ctg x − log2(−2 sin2x)=1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $ctg2x >0$ , $sinx< 0$

( 2 ) ( 2 ) 2 log4 4ctg x − 2log4(−2sin2x)= log4 4ctg x − log4(4sin 2x)= 1

( 2 ) 2 2 log44 ctg x = log4(4sin 2x)+ 1= log4(16sin 2x)

cos2x 2 4sin2 x = 16⋅(2sin xcosx)

4 1 sin x = 16

Тогда $sinx= ± 12$ . По ОДЗ $sin x< 0$ , поэтому $sin x= − 12$ и $( ) x= (−1)n − π6 + πn$ . В этом случае $cos2x = 12$ и $sin2x⁄= 0$ и поэтому все определено корректно.

Ответ:

$(−1)n(− π)+ πn,n∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#92054Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( √x+1 ) 1 √x- log6 2 − 3 =log6log3√393 − 2 log64

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ 0$ , $2√x+1 − 3> 0$ .

Попробуем упростить то, что написано.

1 2∕3 log3√393 = log31∕33 = 2

√x- √x- √- -2-log64= -2-log622 = log62 x

Значит, изначальное уравнение можно переписать, как

( √- ) √- √- log6 2 x+1− 3 = log62− log62 x = log621− x

√- √- 2 x+1− 3= 21− x

Пусть $√x t=2$ . Тогда

2t− 3= 2 t

2t2− 3t= 2

(2t+ 1)(t− 2)= 0

Так как $√- t= 2 x > 0$ , то $t= 2$ . Значит, $x= 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#92055Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√log-x √4-logx- √log3 27 3 − 11⋅3 3 +40⋅x x ≤48

Источники: ПВГ-2015, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 1$ Попробуем упростить то, что написано.

√log-x 3√logx 27 3 = 3 3

3√4log3x = 32√log3x

√ ---- √ ---- x logx3 = 3log3x⋅ logx3

Так как $∘----- ∘ -----∘ -----∘ ----- ∘ ----- log3 x⋅ logx3 = log3x⋅ log3x⋅ logx3= log3x$ .

√ ---- √ ---- √ ---- x logx3 = 3log3x⋅ logx3 = 3 log3x

Значит, если $t =3√log3x$ , то

√log3x √4-log3x- √logx3 27 − 11⋅3 +40⋅x =

=t3− 11t2+ 40t≤ 48

t3− 11t2+ 40t− 48= (t− 3)(t2− 8t+ 16)=(t− 3)(t− 4)2 ≤0

Значит, либо $t=4$ , либо $t≤ 3$ . В первом случае $∘ ----- log3x =log34$ , $log3x= log234$ и $2 x= 3log34 =4log34$ . Во втором случае получается, что $log3x∈ (0,1]$ или $x∈ (1,3]$ .

Ответ:

$(1;3]∪{4log34}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#90863Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( ∘ -----2-)( ∘ -----2-) sinx + 1+ sin x cos2x+ 1+cos 2x = 1.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что каждая скобка при домножении на сопряженное равна по модулю 1. То есть, скобки построены так, что при домножении, скажем, первой скобки на sinx - sqrt(1 + sin^2(x)) получится -1. Но тогда, так как у нас есть наше равенство и факт про домножение на сопряженное, мы получаем, что (sqrt(1 + sin^2(x)) - sinx) * (sqrt(1 + cos^2(2x)) - cos2x) = 1. Чем схожи полученное и начальные равенства? Если у них так немало схожего, то что нужно с ними сделать?

Подсказка 2

Верно, вычесть из начального полученное. Тогда у нас выйдет, что sinx * sqrt(1 + cos^2(2x)) + cos2x * sqrt(1 + sin^2(x)) = 0. Но тогда, разнеся это по разным частям, можно возвести в квадрат и получить(после преобразований), что sin^2(x) = cos^2(2x). Остается решить такое уравнение(к примеру заменой на квадрат синуса) и получить корни. Правда ли, что все корни точно подойдут?

Подсказка 3

Конечно, это неправда, ведь мы сделали неравносильный переход возведения в квадрат, при котором появляются новые корни, а это значит, что какие-то из наших корней могут не подойти. Надо просто подставить найденные корни в начальное уравнение и проверить равенство левой и правой части.

Показать ответ и решение

Заметим, что $(sin x+∘1-+-sin2x)(− sinx+ ∘1-+sin2x)= 1$ . Значит,

( ∘-----2-)( ∘--------) − sin x+ 1+ sin x − cos2x+ 1 +cos22x =1

Вычтем из изначального неравенства это.

∘-------- ∘------- 2sinx 1+ cos22x+ 2 1 +sin2xcos2x= 0

∘ -----2-- ∘ ----2-- sinx 1+ cos 2x= − 1+sin xcos2x

2 2 2 2 sin x(1+ cos 2x)=(1+ sin x)cos 2x

sin2x+ sin2xcos22x= cos22x+ sin2xcos22x

sin2x= cos22x= (1− 2sin2x)2

Пусть $2 t=sin x$ . Тогда $2 4t − 5t+ 1= (4t− 1)(t− 1)= 0$ . Значит, $sin x= ±1$ , либо $1 sinx =± 2.$

Если $sinx =1$ , то

( ∘ -------)( ∘ -------) √- √ - sinx + 1+ sin2x cos2x+ 1+ cos22x = (1+ 2)(− 1+ 2)=1.

Если $sinx =− 1$ , то

( ∘ -------)( ∘ -------) √ - √- sinx + 1+ sin2x cos2x+ 1+cos22x = (−1 + 2)(−1+ 2)⁄= 1?!

Если $sinx = 12$ , то

( ∘-----2-)( ∘ -----2--) 1 √5 1 √5 sinx+ 1 +sin x cos2x+ 1+ cos 2x = (2 +-2 )(2 +-2-)⁄=1?!

Если $1 sinx =− 2$ , то

( ∘ -------)( ∘ --------) √- √ - sin x+ 1+ sin2x cos2x + 1+ cos22x = (− 1+ -5)(1+ --5)=1. 2 2 2 2

Ответ:

$arcsin1, arcsin(− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#94086Максимум баллов за задание: 7

Сколько корней имеет уравнение

lg(x2−3) x2− 2 2 = lg2 ?

Источники: ПВГ - 2021, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, для начала хотелось бы увидеть похожие выражения, чтобы приблизиться к разгадке, как такое решать. Для этого можно сразу сделать замену и воспользоваться свойствами логарифмов. И не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Да, просто так уравнение не решается, поэтому в дело вступает работа с функциями! Попробуйте понять, как они себя ведут, нарисовать эскизы графиков, тогда можно будет найти количество точек пересечения

Показать ответ и решение

Уравнение преобразуется к виду

α 2 t =α(t+ 1), α = lg2∈ (0,1), t=x − 3> 0,

причём:

1) левая часть уравнения — степенная функция, выпуклая вверх (так как $α ∈ (0,1)$ ), определенная при $t≥ 0$ ;

2) правая часть уравнения — линейная функция с положительным угловым коэффициентом;

3) при $t=0$ значение левой части меньше, чем значение правой части; при $t= 1$ значение левой части, наоборот, больше значения правой, так как

α 1 = lg10> lg4= α⋅(1 +1);

при достаточно больших значениях $t$ правая часть уравнения будет больше левой, так как после деления их на $t$ левая будет стремиться к 0 , а правая к $α > 0.$

Поэтому, так как функция выпуклая, то графики этих функций пересекаются ровно в двух точках (одна между 0 и 1 , другая правее 1 ).

Каждое из этих двух положительных значений $t$ порождает по два корня $x$ исходного уравнения. Таким образом, всего корней 4.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#33644Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√log-x √4logx- √log-3 27 3 − 11 ⋅3 3 +40⋅x x ≤ 48.

Источники: Физтех-2020, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В неравенстве два раза встречается степень тройки и один раз степень иска. Было бы удобно сделать замену, но для этого нужно преобразовать степень икса в степень тройки.

Подсказка 2

После такого преобразования и замены тройки в степени корня неравенство становится кубическим. Так попробуем же его разложить на множители ;)

Подсказка 3

Получаем два корня, один из которых кратный. Осталось лишь сделать обратную замену и не забыть про ОДЗ :)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 1$ .

Заметим, что

√---- ( )√logx3- ∘log2x⋅log3- √ ---- x logx3 = 3log3x =3 3 x =3 log3x

Значит, неравенство можно переписать в виде $√---- √ ---- √---- 33 log3x− 11⋅32 log3x +40⋅3 log3x ≤ 48$ . (Отметим, что при этом изменилась область допустимых значений: исчезло ограничение $x ⁄=1$ , которое необходимо будет учесть в дальнейшем.) Обозначим $√---- t= 3 log3x$ . Тогда получаем $t3− 11t2+ 40t− 48≤ 0$ , или, раскладывая левую часть на множители, $(t− 3)(t− 4)2 ≤ 0 ⇐⇒ t∈ (−∞; 3]∪ {4}$ .

Возвращаясь к переменной $x$ , находим, что

[ √---- [ ∘ ----- [ [ 3√log3x ≤ 3, ⇐ ⇒ ∘ log3x≤ 1, ⇐⇒ 0≤ log3x≤ 1, ⇐ ⇒ 1 ≤x ≤3 3 log3x = 4 log3x= log34 log3x =log234 x =4log34

Осталось учесть потерянное условие $x ⁄=1$ из ОДЗ, поэтому окончательный результат таков: ${ } x∈ (1;3]∪ 4log34$ .

Ответ:

$(1;3]∪{4log34}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#80265Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘--------√----- ∘ --------√----- ( 17) 4x+ 1− 12 x− 2+ 4x+ 8− 16 x− 2 ≤log1∕4 x− 4

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень под корнем - не самая приятная вещь, давайте проведём замену t=√(x-2). Тогда x=t²+2. При подстановке в выражении выделяются полные квадраты, корни исчезают, и остаётся просто неравенство с логарифмом и модулями. Что мы можем сказать о возможных значениях t?

Подсказка 2

Конечно, из ОДЗ на x следует, что t больше 3/2. Давайте теперь посмотрим, как раскрываются модули при разных значениях t.

Подсказка 3

Верно, при t≤2 все t сокращаются. Тогда остаётся рассмотреть отдельно эти два случая (когда t сокращается и когда нет) и аккуратно найти объединение решений в каждом из случаев

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-−-2, t≥0.$ Тогда сведем неравенство к следующему виду, предварительно собрав полные квадраты

( 17) |2t− 3|+ |2t− 4|≤ log14 x− 4

Так как $x> 174 ,$ то $t> 32.$

При $( ] t∈ 32;2$ получаем

( ) 1≤ log14 x− 17 , 4

откуда $x ∈(147;92]$

При $t> 2$ получаем

( ) 4t− 7 ≤log1 x− 17 4 4

Так как $t> 2,$ то левая часть уравнения больше $1.$ С другой стороны при $t> 2$ получаем , что $x> 6,$ а тогда $( 17) x− 4 >1$ и $( 17) log14 x− 4 <0.$

Ответ:

$(17;9] 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#42926Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ --2----2---- sin x+ lg x − 1= sinx +lgx− 1

Источники: Муницип - 2018, Республика Башкортостан, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Увидели корень, какая самая первая идея вам приходит в голову? Не забудьте про ограничения.

Подсказка 2

Получилось произведение (sin(x)-1)(lg(x) - 1) равно 0. Аккуратно разберем каждый случай, учитывая ограничение.

Показать ответ и решение

При условии $sinx+ lgx ≥1(1)$ возведём равенство в квадрат, получим

2 2 2 2 sin x+ lg x − 1= sin x +lgx +1 +2sin xlgx − 2lgx− 2sinx

(sinx− 1)(lg x− 1)= 0

Если $lgx = 1$ , то $x= 10$ не подходит под условие (1), иначе $sinx= 1 ⇐⇒ x= π2 +πn,n∈ ℤ$ . И осталось учесть $lgx≥ 0$ (снова из (1)), что эквивалентно $x≥ 1 ⇐ ⇒ n ≥0$ .