МКТ. Влажность —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#25065

Один моль азота находится в сосуде объемом $V = 1 л$ под давлением $5 p =10 Па$ . Газ откачивают, поддерживая температуру сосуда (со всем содержимым) неизменной. Какую массу газа придется откачать к тому моменту, когда давление в сосуде упадет вдвое? Никаких других газов, кроме азота в сосуде нет. Дан ряд табличных параметров азота (не все они понадобятся для решения): молярная масса $μ = 28 г/моль$ , температура кипения при атмосферном давлении $tk = −196∘C$ , удельная теплота испарения $λ =5,6 кДж/моль$ , температура плавления $tпл = −210∘C$ Универсальная газовая постоянная $R = 8,31$ .

Показать ответ и решение

В сосуде первоначально находится

m1 = μν =28 г/м оль ⋅1 моль= 28 г

Пусть весь азот в сосуде газообразный, тогда по уравнению Менделеева-Клапейрона температура азота равна:

pV 105⋅10− 3 pV = νRT∗ ⇒ T∗ = νR-= -1⋅8,31--≈ 12 К

Изобразим фазовую диаграмму состояний

$PIC$

Тогда азот не сможет создать давление $p= 105$ Па. При этом масса азота мала, чтобы он занимал весь объём в жидком или твердом состоянии, значит, в сосуде газ с другой фазой синяя линия на рисунке.

$PIC$

При этом при изотермической откачке азот будет испаряться до тех пор, пока не испарится весь и газ перестанет быть насыщенным, а затем уже начнёт падать давление до искомого значения. При этом конечное значение массы $m2$ можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

p V = m2RT-к ⇒ m2 = pV-μ-= 105 Па-⋅10−3-м−3⋅28-г/моль-≈ 2,2 г 2 μ 2RTk 2 ⋅8,31 Д ж/(моль*К)⋅77 К

Тогда искомая величина:

Δm = m1 − m2 = 28 г − 2,2 г = 25,8 г

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	3
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае: уравнение Менделеева-Клапейрона, формула искомой массы);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии
задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при
написании физических законов);
III) представлены необходимые математические преобразования и
расчёты, приводящие к правильному числовому ответу
(допускается решение «по частям» с промежуточными
вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения
искомой величины

Правильно записаны все необходимые положения теории,	2
физические законы, закономерности, и проведены необходимые
преобразования, но имеется один или несколько из следующих
недостатков

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно,
неверные), не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены
в скобки, рамку и т.п.).
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях
допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не
доведены до конца.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка

Представлены записи, соответствующие одному из следующих	1
случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие
физические законы, применение которых необходимо для решения
задачи, без каких-либо преобразований с их использованием,
направленных на решение задачи, и ответа.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая
для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения),
но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися
формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи
(или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена
ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с
имеющимися формулами, направленные на решение задачи

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44367

Смесь воды и её насыщенного пара занимает некоторый объём при температуре $90∘C$ . Если смесь нагревать изохорически, то вся вода испаряется при увеличении температуры на $∘ 10 C$ . Чему равно давление насыщенного водяного пара при $90∘C$ , если в начальном состоянии масса воды составляла 29% от массы всей смеси? Объёмом воды по сравнению с объёмом смеси пренебречь.
(МФТИ, 1991)

Показать ответ и решение

Так как при $100∘C$ вся вода испаряется, то пар при 100 $∘C$ является насыщенным, откуда

m0RT0-- p0 = μV = 1 а тм.

где $m0$ – масса пара при $∘ 100 C$ , $T0 = 373$ К, $μ$ – молярная масса воды, $V$ - объем сосуда.
Так как в начальном состоянии вода составляет 29 % от всей смеси, то масса пара $m = 0,71m0$ . Тогда давление пара при $T = 363$ К равно

mRT 0,71m0R 363T0 p = ------ = --------- ------= 0, 69p0 μV μV 373

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#44368

В цилиндре под поршнем находится водяной пар при температуре $T$ . При изобарическом охлаждении цилиндра объём уменьшается в 3 раза, а температура – на 20%. Найдите работу, совершённую над содержимым цилиндра в этом процессе, если к концу охлаждения в цилиндре образовалось $ν$ молей жидкости. Объём жидкости намного меньше объёма пара. Пар считать идеальным газом.

(«Физтех», 2013)

Показать ответ и решение

В начале в сосуде находится только пар, значит пар ненасыщенный и имеет давление $P$ . При уменьшении температуры в изобарном процессе давление насыщенных паров возрастает, следовательно конечная влажность будет равна 100% (так как конденсируется вода), в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона:

P V = ν RT ⇒ 3P V = ν RT 1 1 2 1

P V2 = (ν1 − ν)RT2 ⇒ P V2 = 0, 8(ν1 − ν )RT

ν 2,4 ⇒ 2,4 = ---1---⇒ ν1 = ---ν ν1 − ν 1,4

Работа над газом:

1,6 8 A = − PΔV = P (V1 − V2) = RT (ν1 − 0,8ν1 + 0,8ν) = ---νRT = -νRT 1,4 7

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#44369

В цилиндре под поршнем находятся $ν$ молей жидкости и $nu$ молей её насыщенного пара при температуре $T0$ . К содержимому цилиндра подвели количество теплоты $Q$ , медленно и изобарически нагревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на $ΔT$ . Найти изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным объёмом жидкости пренебречь.
(МФТИ, 1991)

Показать ответ и решение

Так как в начале в сосуде находится смесь воды и пара, значит пар насыщенный и имеет давление $P$ равное давлению насыщенного пара при температуре $T0$ . При увеличении температуры в изобарном процессе давление насыщенных паров падает, следовательно конечная влажность будет меньше 100%, значит вся вода испариться и расширится до какого-то объёма $V2$ , в соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона:

P V1 = νRT0

P V2 = 2νR (T0 + ΔT )

⇒ P ΔV = νR (T0 + 2ΔT )

Из первого начала термодинамики:

ΔU = Q − A = Q − pΔV = Q − νR (T0 + 2ΔT )

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44370

В теплоизолированном цилиндре с гладкими стенками под лёгким поршнем находится вода массой $m = 5,5$ г при температуре $∘ t0 = 0 C$ . Площадь поршня $2 S = 500 см$ , наружное давление $P = 1,0 ⋅ 105 0$ Па. К содержимому цилиндра медленно подводят теплоту, вода начинает кипеть.
1. Какое количество теплоты $Q1$ подвели к воде до начала кипения? После начала кипения к содержимому цилиндра подвели $Q2 = 17430$ Дж теплоты.
2. Найдите перемещение $H$ поршня в процессе подведения теплоты.
Удельная теплоёмкость воды $c = 4180$ Дж/(кг $⋅$ К). Удельная теплота парообразования воды при $∘ 100 C$ $6 L = 2,26 ⋅ 10$ Дж/кг. Удельная теплоёмкость водяного пара при постоянном давлении $P = 1,0 ⋅ 105 0$ Па равна $c = 2200 P$ Дж/(кг $⋅$ К). Водяной пар считайте идеальным газом.
(«Физтех», 2021, 10)

Показать ответ и решение

1) $Q = cm (100∘ − t0) ≈ 2300$ Дж.
2) Найдём какое количество теплоты нужно, чтобы вся вода испарилась: $q1 = Lm = 12430$ Дж. Найдём какой объём занял пар:

m mRT V = -- = ------ ρ P0 μ

Значит высота поднятия поршня в процессе испарения:

h = V- = mRT---≈ 0,19 м 1 S P0S μ

3) Затем оставшееся количество на нагрев пара: $q = Q − q = 17430 − 12430 = 5000 2 2 1$ Дж. С другой стороны $q2 = cpm ΔT$ . Из уравнений состояния газа получим:

P ΔV = m- RΔT = q2R- 0 μ cpμ

Высота поднятия поршня в процессе нагрева:

ΔV qR h2 = ----= ---2----≈ 0,21 м S P0Scp μ

4) Следовательно поршень переместился:

H = h1 + h2 = 0,4 м

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44371

Один моль азота находится в сосуде объемом $V = 1$ л под давлением $p = 105$ Па. Газ откачивают, поддерживая температуру сосуда (со всем содержимым) неизменной. Какую массу газа придется откачать к тому моменту, когда давление в сосуде упадет вдвое? Никаких других газов, кроме азота, в сосуде нет. Дан ряд табличных параметров азота (не все они понадобятся для решения): молярная масса $μ = 28$ г/моль, температура кипения при атмосферном давлении $tk = − 196∘C$ , удельная теплота испарения $λ = 5,6$ кДж/моль, температура плавления $tпл = − 210∘C$ . Универсальная газовая постоянная – $R = 8,31$ Дж/(моль $⋅$ К).

(«Росатом», 2020, 11)

Показать ответ и решение

Найдем температуру азота в сосуде по закону Клапейрона-Менделеева

-pV- ∘ T = νR = 12 К = − 261 C.

Эта температура существенно ниже температуры кипения азота при атмосферном давлении, поэтому часть азота будет сконденсирована, а часть будет в виде газа. Следовательно, сосуд будет иметь температуру кипения азота $t = − 196∘C k$ , а газообразный азот представляет собой насыщенный «азотный пар».

Так как откачивание азота происходит при постоянной температуре (температуре насыщенного «азотного пара» при атмосферном давлении), то «азотный пар» останется насыщенным пока не испарится вся жидкая фракция азота. Поэтому пока в сосуде остается жидкий азот, давление «паров азота» будет равно атмосферному. Следовательно, когда давление азота в сосуде упадет вдвое, весь жидкий азот испарится, и останется только газ. Применяя к нему закон Клапейрона-Менделеева, получим

p1V = ν1RTk,

где $p1 = 0,5⋅105$ Па, $ν1$ – количество молей азота, оставшееся в сосуде, $T = 77$ К – температура кипения азота (77 К=196 $∘C$ ). Отсюда находим количество вещества азота в сосуде

ν1 = p1V = -pV--= 0,078 м оль, RTk 2RTk

масса которого равна $m1 = 0,078 ⋅28 = 2,2$ г. Отсюда находим массу азота, который был откачан из сосуда

( ) -pV-- Δm = (ν − ν1)μ = ν − 2RTk μ = 25,8 г

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно определено, что часть азота находится в сконденсированном состоянии	0.5

Доказано, что температура в сосуде равна температуре кипения азота при атмосферном давлении	0.5

Определено и доказано, что к тому моменту, когда давление упадет вдвое, весь азот испарится	0.5

Правильно найдена масса откачанного азота	0.5

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45657

В цилиндре под поршнем находится смесь воздуха и паров некоторой жидкости. Смесь изотермически сжимают. На рисунке представлена экспериментальная зависимость давления в сосуде от объёма в этом процессе. Чему равны давление насыщенных паров жидкости $p H$ при данной температуре и внутренняя энергия смеси при объёме цилиндра более 5 л?

Примечание. Считать воздух идеальным двухатомным газом, а пары жидкости — идеальным трёхатомным газом.

(Всеросс., 2008, финал, 10)

Показать ответ и решение

Предположим, что эксперимент проводится при температуре $T$ . Очевидно, что насыщение пара наступает в точке излома изотермы. Тогда для объёмов $V > 5$ л уравнение газового состояния в соответствии с законом Дальтона имеет вид:

p1V1 = (ν1 + ν2)RT (1)

где $ν1−$ количество молей воздуха в сосуде, а $ν2−$ количество молей паров жидкости в сосуде, $V1−$ любой объём, превышающий 5 л, а $p1 −$ соответствующее ему давление в сосуде (рис. 1).

Для объёмов $V < 5$ л давление в сосуде складывается из давления воздуха и давления насыщенного пара. Уравнение газового состояния имеет вид:

p2V2 = pHV2 + ν1RT (2)

где $V2$ - любой объём, не превышающий 5 л. Изотермы (1) и (2) пересекаются в точке $(V0,p0)$ , следовательно, при $V = V0$ имеем :

ν2RT = pHV0 (3)

Подставляя (2) и (3) в (1) и решая полученное уравнение относительно $pH$ , находим :

p1V1-−-p2V2- pH = V − V ≈ 50 кП а. 0 2

Следует заметить, что для получения более точного численного результата целесообразно с помощью графика на рисунке 27 вычислить несколько произведений $p1V1$ для различных объемов $V > 5$ л и усреднить полученные значения. Аналогичным образом, вычисление окончательного результата с помощью выражения (6) следует проводить для нескольких значений $V 2$ и соответствующих ему значений $p2$ . При построении графика использовались численные значения: $T = 300 K, ν1 = 0,05$ молей, $ν2 = 0,1$ молей, $pH = 50$ кПа. Внутренняя энергия смеси при $V > 5$ л вычисляется по формуле:

5- U = 2ν1RT + 3ν2RT

С учётом выражений (5) и (6) форм ула приобретает вид:

5 U = --(p0 − pH )V0 + 3pHV0 ≈ 1060 Д ж. 2

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48481

Два моля аргона находятся в сосуде объемом $V = 1$ л под давлением $p = 105$ Па. Газ откачивают, поддерживая температуру сосуда (со всем содержимым) неизменной. Никаких других газов, кроме аргона в сосуде нет. Дан ряд табличных параметров аргона (не все они понадобятся для решения): молярная масса $μ = 40$ г/моль, температура кипения при атмосферном давлении $tk = − 186 ∘$ С, удельная теплота испарения $λ = 6,45$ кДж/моль, температура плавления $∘ tp = − 189$ С.
1) При какой температуре происходит откачка?
2) Какую массу газа придется откачать к тому моменту, когда давление в сосуде упадет вдвое?

Показать ответ и решение

1. Выразим температуру откачки:

pV- pV = νRT = > T = νR ≃ 6K

Но при такой температуре газ не может находится с давлением $p0$ , так как 6 K меньше температуры плавления, значит весь процесс будет происходить при температуре кипения равной 87 К, то есть у нас газ находится как в жидком так и в газообразном состоянии (см. рис.).

2. Найдем массу:

p-⋅ V = m--−-mx-RTk ⇒ mx = νμ − -μpV--= 77,2 г 2 μ 2RTk

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49788

При изотермическом сжатии $m =$ 9 г водяного пара при температуре $T = 373$ К его объём уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объём пара.
(МФТИ, 1985)

Источники: МФТИ, 1985

Показать ответ и решение

Из условия задачи можно заключить, что в процессе сжатия масса пара меняется: если бы она была постоянна, то в соответствии с законом Бойля—Мариотта при уменьшении объема в 3 раза давление увеличилось бы так же в 3 раза. Таким образом, в какой-то момент пар становится насыщенным и при дальнейшем сжатии давление остается постоянным и вдвое большим начального. Запишем закон Бойля–Мариотта для начального состояния пара и состояния пара в тот момент, когда он стал насыщенным:

p1V1 = p2V2 (1)

и уравнение Менделеева - Клапейрона, например, для второго состояния (в момент, когда пар стал насыщенным):

m p2V2 = ---RT2 (2) M

Учитывая, что, согласно условию задачи:

p2 = 2p1 (3)

и давление насыщенного пара при температуре $∘ 100 C$ : $5 p2 = 10$ Па из (1–3) находим:

2m V = ----RT ≈ 31 л μp0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49789

В сосуде находятся водяной пар и вода при температуре $100∘C$ . В процессе изотермического расширения вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объём пара увеличился в $β =$ 10 раз. Найти отношение объёмов пара и воды в начале опыта.
(МФТИ, 1996)

Источники: МФТИ, 1996

Показать ответ и решение

Запишем уравнение Менделеева-Клайперона для начального состояния:

p1V1 = m1-RT M

-m1-- V1 = M p1RT

В конечном состоянии

m2- p2V2 = M RT

При этом конечная масса пара складывается из начальной массы и массы испарившейся воды: $m2 = m1 + mv,$ $mv$ – масса воды.

Тогда

V2- m2- m1-+-mv-- V = m = m 1 1 1

mv = 9m1

С другой стороны,

mv = ρVv

m 9m Vv = --v = ---1 ρ ρ

Искомое отношение

V m ρ ρ 103 -1-= ----1---RT = ------RT = ----------------8, 31 ⋅ (100 + 273 ) = 191,33 Vv 9m1M p1 9M p1 9 ⋅ 18 ⋅ 10−3 ⋅ 105

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#49790

В цилиндрическом сосуде под поршнем находится насыщенный водяной пар при температуре $95∘C$ и давлении $P = 8,5⋅104$ Па. В медленном изотермическом процессе уменьшения объема пар начинает конденсироваться, превращаясь в воду.
1. Найти отношение плотности пара к плотности воды в условиях опыта.
2. Найти отношение объема пара к объему воды к моменту, когда объем пара уменьшится в $γ = 4,7$ раза.
Плотность и молярная масса воды $ρ = 1 г/см3$ , $μ = 18$ г/моль.
(«Физтех», 2020, 10)

Показать ответ и решение

1) Найдем плотность пара и плотность воды. Для этого выразим давление пара через уравнение Менделеева-Клайперона и запишем выражение для плотности пара

P = ρпRT- ⇒ ρп = μp- μ RT

Поделим на плотность воды и тогда искомое соотношение

ρп -μp- −4 x1 = ρ = ρRT ≈ 5⋅10 .

2) Пусть $V$ – начальный объем пара. Тогда, конденсируется объем

Vk = V − V-= γ-−-1V γ γ

Так как масса воды равна массе сконденсировавшегося пара, масса воды

m = V ρ = γ-−-1V-ρp в k п γ RT

Зная плотность воды, найдем ее объем

m в γ − 1 μp Vв =-ρ- = -γ--V ρRT-

Отношение объема пара к объему воды к моменту, когда объем пара уменьшится равно

V-∕γ -1--ρRT- ----1--- x2 = Vв = γ − 1 μp = (γ − 1)x1 ≈ 540.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49791

Подвижный поршень делит объем горизонтально расположенного сосуда на два отсека с общим объемом $V = 150 л$ . В первый отсек ввели $ν1 = 1 м оль$ воды, а во второй ввели $ν2 = 2 мол ь$ азота. Можно считать, что объем введенной воды намного меньше $V$ . В отсеках установилась температура $T1 = 275 К$ . Сосуд вместе с содержимым прогревают до температуры $T2 = 373 К$ . Давление насыщенного пара воды при температуре $T1 = 275 К$ равно $PH = 705 П а$ . Плотность воды $ρ = 1 г/см3$ .
1. Найти давление $P1$ в сосуде до прогревания.
2. Найти объем $V1$ первого отсека до прогревания.
3. Найти давление $P2$ в сосуде после прогревания.
(«Физтех», 2019, 11)

Источники: Физтех, 2019, 11

Показать ответ и решение

1) Найдем давление, которое создается азотом при температуре $T1$

ν2RT1- 5 P1 = V ≈ 0,3 ⋅ 10 П а

Это давление больше, чем давление насыщенного пара при температуре $T1$ , значит никакая часть воды не испарилась и в первом отсеке находится только вода.
2) До прогревания в первом отсеке нет пара, только вода массой 18 г, ее объем $3 V1 = 18см$ .

3) Предположим, что вся вода испарилась. Тогда $(ν1 + ν2)RT2 p2 = -------------≈ 0,62 ⋅ 105 V$ Па. Это меньше давления насыщенного пара при $T 2$ , т.е. предположение верное.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#49792

В закрытом сосуде содержится воздух и вода. Внутри сосуда поддерживается температура $t = 100∘C$ . Объем сосуда $V = 10$ л, давление $p1 = 2⋅105$ Па. Известно, что жидкая вода в сосуде есть и что она занимает очень малый объем. В результате изотермического расширения объем сосуда вырос до величины $2V$ , а давление упало до величины $5 p2 = 1,4 ⋅10$ Па. Сколько молей воды находятся в сосуде? Универсальная газовая постоянная $R = 8,3$ Дж/(моль $⋅$ K). Атмосферное давление — $p0 = 105П а.$
(«Росатом», 2019, 11)

Источники: Росатом, 2019, 11

Показать ответ и решение

Поскольку температура в сосуде равна $t = 100∘C$ , то давление насыщенных паров равно атмосферному – $pпара = p0 = 105$ Па. А давление газа в сосуде – $p1 = 2⋅105$ Па. – в два раза больше. Следовательно, парциальное давление воздуха в сосуде равно – $p = p − p = 105 возд 1 0$ Па. При увеличении объема сосуда количество вещества воздуха не меняется, и понижение его парциального давления связано только с увеличением объема. А поскольку объем увеличился вдвое – вдвое уменьшилось парциальное давление воздуха –

p1 − p0 p′возд = ---2-- = 0,5⋅105 П а

Следовательно, парциальное давление водяного пара в сосуде составляет

p′пара = p2 − p′возд = p2 − p1 −-p0 = 2p2 −-p1 +-p0-= 0,9 ⋅105П а 2 2

Поскольку это значение меньше давления насыщенного пара при температуре $∘ t = 100C$ , заключаем, что вся вода испарилась, и ее количество можно найти из закона Клапейрона-Менделеева для водяного пара в конечном состоянии

p′параV = νRT,

где $ν$ – искомое количество вещества пара, $T = 373$ К – абсолютная температура газа. Отсюда находим

2p′параV- (2p2 −-p1-+p0)V ν RT = RT = 0,58 моль.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула парциального давления газа	2

Сказано как изменяется давление при изменении объёма	2

Записано уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Сказано, чему равно давление водяного пара	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#49793

Горизонтальный цилиндр закрыт свободно скользящим поршнем. В цилиндре находится водяной пар при температуре $T1 = 453 К$ и давлении $2p0$ , $p0 = 0,1 МП а$ . Пар изохорически охлаждают до температуры $T = 373 К 2$ , а затем изотермически уменьшают его объём в 2 раза. При этом внешние силы, действующие на поршень, совершают работу $A = 450 Дж$ . Найдите массу $m$ сконденсировавшейся воды. Давление насыщенного пара при температурах $T1$ и $T2$ равно соответственно $10p0$ и $p0$ , молярная масса воды $μ = 18 г/м ол ь$ универсальная газовая постоянная $R = 8,31 Д ж/(моль⋅K )$ . Объёмом воды по сравнению с объёмом пара пренебрегите, пар считайте идеальным газом. Ответ выразите в граммах и округлите до целого.
(«Курчатов», 2018, 11)

Источники: Курчатов, 2018, 11

Показать ответ и решение

Рассмотрим изотермы пара на диаграмме ( $p,V$ ). При температурах ниже критической (647 K для воды) на изотермах имеются горизонтальные участки постоянного давления, соответствующие насыщенному пару. Давление на этих участках при температурах $T 1$ и $T 2$ равно соответственно $10p 0$ и $p 0$ . Так как начальное давление $2p 0$ меньше чем $10p0$ , то в начальном состоянии имеем ненасыщенный пар. Пусть $ν1$ – число молей пара, $V1$ – его объём. Тогда:

2p0V1 = νRT1.

Выясним, будет ли пар насыщенным после изохорического охлаждения. Обозначим через $Vн$ максимальный объём, который могут занимать $ν1$ молей насыщенного пара при температуре $T2$ . Учитывая, что давление насыщенного пара при этой температуре равно $p 0$ , имеем:

p0Vн = ν1RT2.

Поделив первое уравнение на второе, получаем:

2V1= T1⇒ V1-= T1- ≈ 0,6 Vн T2 Vн 2T2

Так как $V1 < Vн$ , то после изохорического охлаждения пар становится насыщенным. Точка, изображающая его состояние на диаграмме ( $p,V$ ), лежит на горизонтальном участке изотермы $T2$ . Поэтому дальнейшее изотермическое сжатие пара идёт при постоянном давлении $p0$ и работа внешних сил легко вычисляется:

( ) V1 p0V1 A = p0 V1 − 2 = 2 ⇒ p0V1 = 2A.

Пусть $ν$ – число молей сконденсировавшейся воды. Тогда число молей пара в конечном состоянии равно ( $ν1 − ν$ ). Пренебрегая объёмом воды по сравнению с объёмом пара, получаем:

p0V1 (ν1 − ν)RT2 ⇒ ν = ν1 − p0V1-= ν1 −-A-. 2 2RT2 RT2

Начальное число молей пара равно:

2p0V1 4A-- ν1 = RT1 = RT1 .

Масса $m$ сконденсировавшейся воды равна:

( ) m = μ ν = ν -4A-− -A-- = μA-(4T2-−-T1) RT1 RT2 RT1T2

Подставим числовые значения:

m = 0,018⋅450(4⋅373−-453) = 6 г 8,31 ⋅453 ⋅373

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно записано уравнение состояния идеального газа для начального состояния	2

Верно записано уравнение состояния идеального газа после изохорического охлаждения	3

Определено выражение для работы внешних сил при изотермическом сжатии	3

Найдено количество сконденсировавшейся воды	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#49794

В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар под давлением $p = 1 а тм$ . В процессе изобарического сжатия конечный объём, который занимает пар, уменьшается в $k = 4$ раза по сравнению с объёмом, который он занимал вначале. При этом часть пара конденсируется, а объём образовавшейся воды составляет $α = 1∕1720$ от конечного объёма пара. Во сколько раз уменьшилась температура пара в указанном процессе? Плотность воды $3 ρ = 1 г/см$ , молярная масса пара $μ = 18 г/мол ь$ .
(МФТИ, 2005)

Источники: МФТИ, 2005

Показать ответ и решение

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния пара до и после сжатия:

pV1 = ν1RT1

pV2 = ν2RT2

Так как объем уменьшается в $k = 4$ раз, $V = V1 2 4$ и во втором случае

pV1-= ν RT k 2 2

То есть

pV1 = kν2RT2

Пусть $ν 1$ - количество пара в начале процесса, $ν 2$ - количество пара в конечном состоянии. Тогда

ν1RT1 = kν2RT2

T1 kν2 T--= -ν-- 2 1

Количество пара $ν2 = ν1 − νv,νv$ – количество вещества сконденсированной воды.

m ρV ρ αV ραV νv = ---= ---v = ----2 = ----1 M M M kM

ν = ν − ραV1- 2 1 kM

Определяем отношение температур:

ραV1 T1-= kν2-= kν1-−--M---= k − ρ-αV1 = k − ρα-RT1- T2 ν1 ν1 M ν1 M p

Откуда

ρα RT T1 = kT2 − ------1T2 M p

( ) ρα-RT2- 1 + M p T1 = kT2

T k 4 --1 = ----ραRT--= -----3--1--------= 2 T2 1 + -Mp-2 1 + 10⋅1720⋅8−,331⋅5373- 18⋅10 ⋅10

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Записано количество вещества водяного пара в начальном состоянии и конечном	2

Записано количество вещества сконденсировавшейся воды	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#49795

В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар и вода при температуре $100∘C$ . Объём воды составляет $α = 1∕860$ часть объёма, который занимает пар. При изотермическом расширении давление уменьшилось в $β = 2$ раза, при этом вся вода испарилась. Во сколько раз увеличился объём пара? Плотность воды $ρ = 1 г/см3$ , молярная масса пара $μ = 18 г/мол ь$ .
(МФТИ, 2005)

Источники: МФТИ, 2005

Показать ответ и решение

При расширении пар будет оставаться насыщенным до тех пор, пока не испарится вся вода. При дальнейшем расширении пар перестанет быть насыщенным. Давление насыщенного пара равно атмосферному. Тогда

p V = νRT = mp--+-mv-RT 0 1 M

mp-+--ρV-α- p0V1 = M RT

Массу пара найдем, записав для него уравнение Менделеева-Клапейрона:

mp- p0V = M RT

p V M mp = -0----- RT

Вернемся ко второму уравнению:

mp ρV α ρV α p0V1 = ---RT + ----RT = p0V + -----RT M M M

V1 = V + ρV-α-RT M p0

Далее пар перестает быть насыщенным, он изотермически расширяется, и его давление падает вдвое, а значит, объем вдвое растет:

2ρV α V2 = 2V + ------RT M p0

Откуда

V 2ρ α 2 ⋅ 103 ⋅-1 --2= 2 + -----RT = 2 + ---------860-8,31 ⋅ 373 = 2 + 4 = 6 V M p0 18 ⋅ 10−3 ⋅ 105

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49796

Два сосуда соединены короткой трубкой с закрытым краном. В одном сосуде объёмом $V1 = 3,5 л$ находится влажный воздух с относительной влажностью $φ1 = 40%$ при температуре $T$ . В другом сосуде объёмом $V = 2,5 л 2$ находится влажный воздух с относительной влажностью $φ = 60% 2$ при той же температуре. Кран открывают, и влажный воздух в сосудах перемешивается. В сосудах устанавливается та же температура $T$ . Найти относительную влажность $φ$ воздуха в сосудах.
(«Физтех», 2018, 10)

Источники: Физтех, 2018, 10

Показать ответ и решение

Пусть $pн$ – давление насыщенного пара. Тогда давления в сосудах равны $φ1p н$ и $φ2pн$ .
Из уравнений Менделеева -Клайперона до открытия крана

m1 = -μ-φ1p нV1 RT

-μ-- m2 = RT φ2p нV2

После того, как кран открыли и воздух в сосудах распределился равномерно:

μ m1 + m2 = ---φp н(V1 + V2). RT

Отсюда

V φ + V φ φ = -1-1----2--2≈ 48% V1 + V2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49797

В цилиндре с вертикальными гладкими стенками под покоящимся поршнем находятся вода и влажных воздух при температуре $∘ t1 = 100 C$ . Площадь поршня $2 S = 100 см$ , масса $M$ поршня такова, что $M g = 0,5P S 0$ , здесь $P = 1,0 ⋅ 105 Па 0$ — давление в окружающей атмосфере. Высота поршня над поверхностью воды $H = 20 см$ . Температуру в цилиндре медленно уменьшили до $∘ t2 = 7 C$ . Давление водяного пара при $∘ t2 = 7 C$ считайте пренебрежимо малым. Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 Дж/ (м оль ⋅ К )$ . Молярная масса воды $−3 μ1 = 18 ⋅ 10 кг/мо ль$ .
1. Найдите парциальное давление $PCB$ сухого воздуха в цилиндре под поршнем при $t1 = 100∘C$ .
2. На каком расстоянии $h$ от поверхности воды остановится поршень при $∘ t2 = 7 C$ ?
(«Физтех», 2019, 10)

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

1) Из второго закона Ньютона

5 (pсв + p0 )S = p0S + M g ⇒ pсв = M g = 0,5P0 = 0,6 ⋅ 10 П а

2) Найдем конечное давление сухого воздуха в конце процесса из второго закона Ньютона

′ pсв’S = p0S + M g ⇒ pсв = 1,5P0

Также запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для начального и конечного состояний

( ′ { pсвSh = νRT2 p-′свh- T2- ( ⇒ p H = T pсвSH = νRT1 св 1

Откуда можно выразить искомую величину

p T 0,5p ⋅ 280 К h = -с′в-2H = ----0--------20 см ≈ 5 см pсвT1 1,5p0 ⋅ 373 К

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#49798

Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем при температуре $100∘C$ и давлении $p1 = 1, 2$ атмосферы. Если увеличить давление на поршень в $β = 2$ раза в изотермическом процессе, то объём, занимаемый воздухом, уменьшится в $γ = 2,5$ раза, а на стенках цилиндра выпадет роса. Найти начальную относительную влажность воздуха $φ$ в цилиндре. Объёмом образовавшейся жидкости пренебречь.
(МФТИ, 2003)

Источники: МФТИ, 2003

Показать ответ и решение

Если $φ$ – начальная относительная влажность воздуха в цилиндре, то начальное давление сухого воздуха равно $p1 − φp н,$ где $5 pн = 10 Па$ – давление насыщенного пара в цилиндре при температуре $100∘C$ . В случае выпадения росы пар становится насыщенным и давление сухого воздуха в цилиндре равно $p2 − pн$ , где $p2$ – давление воздуха после сжатия ( $p2 = βp1$ ). При изменении давления сухого воздуха в изотермическом процессе справедлив закон Бойля—Мариотта:

(p1 − φpн)V1 = (p2 − pн)V2

где $V1,V2$ – начальный и конечный объемы цилиндров ( $V1 = γV2$ ). Перепишем последнее уравнение в виде

(p1 − φp н)γ = (βp1 − pн)

Отсюда

( ) φ = p1- 1 − β- + 1-= 0,64 p0 γ γ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#49799

После тёплого летнего дождя относительная влажность воздуха у поверхности земли достигла $100%$ . При этом плотность влажного воздуха (масса пара и воздуха в $3 1 м$ ) оказалась равной $ρ = 1171 г/м3$ , его давление $p = 100 кП а$ и температура $22∘C$ . Найти по этим данным давление насыщенного водяного пара при температуре $22∘C$ . Молярная масса воздуха $μB = 29 г/мол ь$ .
(МФТИ, 1999)