a) Собственные значения - это в точности корни характеристического многочлена $( ) 1− λ 0 0 | | det(A − λE ) = det|( − 2 1− λ 1 |) − 3 − 1 − 1 − λ$ .

Посчитаем его:

( ) | 1 − λ 0 0 | det| − 2 1− λ 1 | = − λ3 + λ2 = λ2(− λ + 1), det(A − λE ) = E ⇔ λ1 = 0 или λ2 = 1 ( ) − 3 − 1 − 1 − λ

Причем $λ1$ имеет кратность 2, а $λ2$ имеет кратность 1.

Далее, найдём собственное подпространство $V0$ , соответствующее собственному значению $λ1 = 0$ .

Его базис - это в точности ФСР ОСЛУ

( ) ( ) ( ) | 1 0 0 | | x1| | 0| |( − 2 1 1 |) |( x2|) = |( 0|) − 3 − 1 − 1 x 0 3

ФСР ищем как обычно - сначала найдём общее решение этой системы методом Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

( ) 1 0 0 || || (0 1 1) 0 0 0

Таким образом, общее решение этой системы записывается как

( { x1 = 0 ( x2 + x3 = 0,

Или, выбирая $x3$ свободной переменной, а $x1,x2$ - главными, получим:

( { x = 0 1 ( x2 = − x3,

Таким образом, базис в пространстве решений, то есть базис в $V0$ задаётся следующим образом: нужно каждую из свободных переменных приравнять к единице, а остальные - к нулю (в данном случае - единственную $x3$ приравнять к единице, к нулю приравнивать будет уже нечего) и посчитать главные.

Получаем такой вектор $v = (0,− 1,1)$ . Следовательно,

V0 = span{(0,− 1,1)}

Далее, найдём собственное подпространство $V1$ , соответствующее собственному значению $λ2 = 1$ .

Его базис - это в точности ФСР ОСЛУ

( ) ( ) ( ) | 0 0 0 | | x1| | 0| |( − 2 0 1 |) |( x2|) = |( 0|) − 3 − 1 − 2 x3 0

ФСР ищем как обычно - сначала найдём общее решение этой системы методом Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

( ) 1 0 − 0.5 || || ( 0 1 3.5 ) 0 0 0

Таким образом, общее решение этой системы записывается как

( {x1 − 0.5x3 = 0 (x2 + 3.5x3 = 0,

Или, выбирая $x3$ свободной переменной, а $x1,x2$ - главными, получим:

( {x = 0.5x 1 3 (x2 = − 3.5x3,

Таким образом, базис в пространстве решений, то есть базис в $V1$ задаётся следующим образом: нужно каждую из свободных переменных приравнять к единице, а остальные - к нулю (в данном случае - единственную $x3$ приравнять к единице, к нулю приравнивать будет уже нечего) и посчитать главные.

Получаем такой вектор $u = (0.5,− 3.5,1)$ . Следовательно,

V1 = span {(0.5,− 3.5,1)}

b) Применим критерий диагонализируемости. Он говорит, что матрица диагонализируема в некотором базисе тогда и только тогда, когда она имеет столько собственных значений, каков её размер (с учётом кратности) и для каждого собственного значения $λ$ выполнено точное равенство

dim V = кратн ость λ как корн я ха р. м н- н а λ

У нашей матрицы с учетом кратности получается 3 собственных значения, что равно её размеру, так что первое условие выполнено. Однако для собственного значения $λ1 = 0$ мы имеем, что его кратность равна 2, однако $dim V0 = 1$ , следовательно,

dim V0 < кратн ость 0 как корня хар. мн -на

Следовательно, наша матрица ни в каком базисе не может оказаться диагональной.

11 Собственные числа и собственные векторы.