.11 Собственные числа и собственные векторы.

Характеристический многочлен нашего оператора в этом базисе будет

и он, как нетрудно видеть, вообще не имеет корней в

А если бы он был диагонализируем над , то это по определению означало бы, что в некотором базисе его матрица имела бы диагональный вид с вещественными числами на диагонали. А, значит, в этом базисе его характеристический многочлен имел бы вещественные корни (ибо вообще характеристический многочлен любой диагональной матрицы с вещественными числами на диагонали имеет вещественные корни - эти самые диагональные числа и будут его корнями).

Но такого быть не может, потому что набор собственных чисел для данного оператор не зависит от того, в каком базисе мы рассматриваем его матрицу. Противоречие.