.11 Собственные числа и собственные векторы.

С одной стороны, конечно, не зависят, поскольку определение собственного вектора такое: вектор - собственный, если и найдётся такая , что

То есть в этом определении вообще ничего не зависит ни от базиса, ни от координат.

С другой стороны, нельзя конечно сказать, что координатное представление собственных векторов не зависит от выбора базиса. То есть будет неверно сказать, что если - координаты собственного вектора , то они останутся такими же в любом базисе.

Действительно, выберем некоторый базис в . Пусть в этом базисе оператор имеет матрицу , и выполняется соотношение

То есть, иными словами, в этом базисе координаты - это координаты собственного вектора с собственным значением .

Пусть теперь мы выбрали в новый базис, и матрица перехода от старого к новому - это .

Тогда если - это матрица того же самого оператора, но в новом базисе, то . А координаты в новом базисе будут равны .

Тогда ,
.

Тогда соотношение

переписывается в виде

сокращаем :

И домножаем на слева: Получаем

Таким образом мы видим, что в новом базисе тот же собственный вектор будет иметь уже другие координаты (впрочем, и матрица оператора , конечно, уже будет другой).