.11 Собственные числа и собственные векторы.

a) Собственные значения - это в точности корни характеристического многочлена .

Посчитаем его:

Причем имеет кратность 2, а имеет кратность 1.

Далее, найдём собственное подпространство , соответствующее собственному значению .

Его базис - это в точности ФСР ОСЛУ

ФСР ищем как обычно - сначала найдём общее решение этой системы методом Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом, общее решение этой системы записывается как

Или, выбирая свободной переменной, а - главными, получим:

Таким образом, базис в пространстве решений, то есть базис в задаётся следующим образом: нужно каждую из свободных переменных приравнять к единице, а остальные - к нулю (в данном случае - единственную приравнять к единице, к нулю приравнивать будет уже нечего) и посчитать главные.

Получаем такой вектор . Следовательно,

Далее, найдём собственное подпространство , соответствующее собственному значению .

Его базис - это в точности ФСР ОСЛУ

ФСР ищем как обычно - сначала найдём общее решение этой системы методом Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом, общее решение этой системы записывается как

Или, выбирая свободной переменной, а - главными, получим:

Таким образом, базис в пространстве решений, то есть базис в задаётся следующим образом: нужно каждую из свободных переменных приравнять к единице, а остальные - к нулю (в данном случае - единственную приравнять к единице, к нулю приравнивать будет уже нечего) и посчитать главные.

Получаем такой вектор . Следовательно,

b) Применим критерий диагонализируемости. Он говорит, что матрица диагонализируема в некотором базисе тогда и только тогда, когда она имеет столько собственных значений, каков её размер (с учётом кратности) и для каждого собственного значения выполнено точное равенство

У нашей матрицы с учетом кратности получается 3 собственных значения, что равно её размеру, так что первое условие выполнено. Однако для собственного значения мы имеем, что его кратность равна 2, однако , следовательно,

Следовательно, наша матрица ни в каком базисе не может оказаться диагональной.