.11 Собственные числа и собственные векторы.

является собственным значением этого оператора, если найдётся ненулевая матрица такая, что .

Но , то есть мы ищем матрицу, которая при транспонировании умножается на какое-то .

Сразу заметим, что если на диагонали матрицы есть хотя бы одно ненулевое число, то может быть равна только 1, поскольку при транспонировании все элементы диагонали остаются прежними, и в то же время, они должны умножиться на .

Поэтому подходит, и в качестве можно взять любую симметричную матрицу.

Далее, если вся диагональ нулевая, а матрица - не симметричная, но при этом при транспонировании , Однако, если мы транспонируем еще раз, то получим

То есть, очевидно, , а значит . Случай единицы мы рассмотрели, значит остается случай, когда .

В таком случае матрица удовлетворяет соотношению , а это в точности определение кососимметрической матрицы.

Ответ. и ,
и