18.02 Задачи №18 из сборника И.В. Ященко

Перепишем уравнение в виде

График полученной совокупности представляет собой объединение части параболы соответствующей и части параболы соответствующей Следовательно, может получиться одна из четырех картинок:

 

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4. :

 

Этот рисунок задается следующим условием:

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это значит, что обе параболы должна пересекать ось абсцисс, поскольку тогда ось абсцисс будет находиться выше прямой 1. Кроме того, значение должно быть положительно, поскольку тогда ось абсцисс будет ниже прямой 2. Следовательно, имеем условия:

В итоге получаем следующую систему:

Отсюда получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения при

Перепишем уравнение в виде совокупности

График полученной совокупности представляет собой объединение части параболы соответствующей и части параболы соответствующей Следовательно, может получиться одна из четырех картинок:

 

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4:

 

Этот рисунок задается следующим условием:

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это значит, что обе параболы должны пересекать ось абсцисс, поскольку тогда ось абсцисс будет находиться ниже прямой 2. Кроме того, значение должно быть отрицательным, поскольку тогда ось абсцисс будет выше прямой 1. Следовательно, имеем условия:

В итоге получаем следующую систему:

Отсюда получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения при

Уравнение равносильно системе

Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев:

— уравнение имеет единственный корень, то есть причем этот корень больше то есть удовлетворяет неравенству

— уравнение имеет два корня и то есть причем ровно один из корней больше а другой соответственно

Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем его:

1.

Тогда уравнение имеет единственный корень

В этом случае

Заметим, что следовательно, нам подходит.

2.

Тогда уравнение имеет два корня

Следовательно, нам необходимо, чтобы

Решим первую систему:

Тогда вторая система преобразуется в

Следовательно, в этом случае нам подходят при этом условие выполнено.

Объединив все подходящие значения параметра, получим окончательно

Уравнение равносильно системе

Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев.

1. Уравнение имеет единственный корень, то есть причем этот корень меньше то есть удовлетворяет неравенству

2. Уравнение имеет два корня и то есть причем ровно один из корней меньше а другой соответственно

Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем его:

1.

Тогда уравнение имеет единственный корень

В этом случае

Заметим, что следовательно, нам подходит.

2.

Тогда уравнение имеет два корня

Следовательно, нам необходимо, чтобы

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Следовательно, в этом случае нам подходят при этом условие выполнено.

Объединив все подходящие значения параметра, окончательно получим

Сделаем замену Тогда система примет вид

Заметим, что числу не соответствует ни одного числу соответствует ровно один числу соответствует ровно два Также заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно, исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно одно из них имеет вид с а у остальных решений координата отрицательна.

Так как то из системы получаем, что

Следовательно, систему можно переписать в виде

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, система имеет решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:

1.

Тогда система имеет одно решение , причем

Следовательно, при получаем Этот случай нам подходит.

При получаем Этот случай нам не подходит.

2.

Следовательно, система имеет два решения и (решения симметричны в силу симметричности системы ). Нам нужно, чтобы . То есть то есть произведение корней квадратного уравнения должно быть отрицательно:

Эти значения параметра удовлетворяют условию

Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ

Сделаем замену Тогда система примет вид

Заметим, что числу не соответствует ни одного числу соответствует ровно один числу соответствует ровно два Также заметим, что каждому соответствует ровно один Следовательно, исходная система будет иметь ровно четыре решения, если новая система будет иметь решения, причем ровно два из них имеют вид с а у остальных решений координата отрицательна.

Так как то из системы получаем, что

Следовательно, систему можно переписать в виде

Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, система имеет два решения, если дискриминант полученного квадратного уравнения положителен. Найдем этот дискриминант:

Следовательно, система имеет два решения и Эти решения симметричны в силу симметричности системы Нам нужно, чтобы Тогда и то есть произведение корней и сумма корней квадратного уравнения должны быть отрицательны:

Пересечем эти значения параметра с условием и окончательно получим

1 способ. Графический. В системе координат

Преобразуем первое и второе уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:

а второе уравнение примет вид

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первого и второго уравнений соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно четыре точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Причем выполнены следующие требования:

две точки принадлежат множеству то есть графику функции

(назовем их — «точки уголка»);

две точки принадлежат множеству то есть графику, задаваемому системой

(назовем их — «точки дуги»);

точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по четырем точкам где причем точки и принадлежат а точки и — или наоборот.

Преобразуем уравнение

Таким образом, графиком уравнения является ломаная

Графиком системы является дуга окружности с центром в точке радиуса включая точки и (если быть точнее, дуга является полуокружностью), находящаяся правее прямой Точки — точки пересечения прямой с окружностью

Изобразим множества и на координатной плоскости:

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые, находящиеся в закрашенной области: между прямой проходящей через точку и прямой проходящей через точку включая положение прямой То есть ответом будут Дейсвительно, если упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой со множеством то мы получим четыре точки причем точки с абсциссами и лежат на дуге а точки с абсциссами и — на ломаной

Найдем ординаты точек и

— точка пересечения окружности с прямой находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

— точка пересечения окружности с прямой находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее кординаты ищутся из системы:

Значит,

Тогда ответ

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и какие это корни.

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют условию и различны:

Таким образом, при первое уравнение имеет два различных корня.

 

Рассмотрим второе уравнение.

Полученная система имеет два различных корня, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию Следовательно, дискриминант уравнения должен быть положителен, а число должно располагаться в I или II месте, то есть левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если — абсцисса вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей системой:

Следовательно, при второе уравнение имеет два различных корня.

Значит, при

оба уравнения имеют по два различных корня.

 

Далее будем вести рассуждения при (чтобы существовали корни обоих уравнений).

Корни первого уравнения найдены, корни второго уравнения ищутся из то есть это числа и Заметим, что Пусть — корни второго уравнения. Заметим также, что при .

Определим, при каких корни перемежаются (между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения). Возможны две ситуации.

1.

Следовательно,

Так как то следовательно, неравенство не имеет решений.

2.

Следовательно,

(решили систему при ).

Пересекая полученные значения с получаем итоговый ответ

1 способ. Графический в системе координат

Преобразуем первое и второе уравнения. Тогда первое уравнение примет вид

Второе уравнение примет вид

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множества и решений первого и второго уравнений соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит одному из множеств или то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений соответствующего уравнения.

Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно четыре точки вида , принадлежат множеству решений изображенному на плоскости Причем выполнены следующие требования:

две точки принадлежат множеству то есть графику функции

(назовем их «точки уголка»);

две точки принадлежат множеству то есть графику, задаваемому системой

(назовем их «точки дуги»);

точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая пересекается со множеством по четырем точкам где При этом точки и принадлежат а точки и — или наоборот.

Преобразуем уравнение

Таким образом, графиком уравнения является уголок где

Графиком системы является дуга окружности с центром в точке радиуса находящаяся не ниже прямой При этом дуга является полуокружностью и — точки пересечения прямой с окружностью

Изобразим множества и на координатной плоскости:

Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые, находящиеся в закрашенной области, то есть между прямой проходящей через точку и прямой проходящей через точку Тогда в ответ пойдут значения параметра Действительно, если упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой с множеством то мы получим четыре точки При этом точки с абсциссами и лежат на дуге а точки с абсциссами и — на уголке

Найдем ординаты точек и

Точка пересечения окружности с прямой находится в четверти, то есть имеет положительную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

Точка пересечения окружности с прямой находится во четверти, то есть имеет отрицательную абсциссу. Значит, ее координаты ищутся из системы:

Значит,

Тогда получаем

2 способ. Алгебраический

Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и какие это корни.

Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют условию и различны:

Таким образом, при первое уравнение имеет два различных корня.

 

Рассмотрим второе уравнение.

Полученная система имеет два различных корня, если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию Следовательно, дискриминант уравнения должен быть положителен, а число должно быть левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если — абсцисса вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей системой:

Следовательно, при второе уравнение имеет два различных корня.

Значит, оба уравнения имеют по два различных корня при

 

Далее будем вести рассуждения при чтобы существовали корни обоих уравнений.

Корни первого уравнения найдены, это числа Корни второго уравнения ищутся из то есть это числа и Заметим, что Заметим также, что при

Определим, при каких корни перемежаются, то есть между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения. Возможны две ситуации.

1.

Следовательно,

Так как то следовательно, неравенство не имеет решений.

2.

Следовательно,

Решили систему с учетом

Пересекая полученные значения с окончательно имеем:

Уравнение равносильно совокупности

Корни уравнения (1) — числа

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При уравнение (2) примет вид

Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь максимум два корня — это и Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид То есть они ему удовлетворяют. Следовательно, нам подходит и является первой частью ответа.

Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

Получаем, что числа и — «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом и — решения, если они удовлетворяют (1’), — решение, если удовлетворяет (2’).

Определим при которых каждое из чисел удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим при которых каждое число является хорошим или плохим.

Число — хорошее, если выполнено неравенство

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех чисел ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как

1.

Пусть

Тогда — хорошие, — плохое. Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть

Тогда — хорошие и — хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, — вторая часть ответа.

Далее пусть все три числа различны, то есть

Составим для удобства табличку:

 

1.

Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

2.

Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

3.

Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно

Уравнение равносильно совокупности

Корни уравнения (1) — числа

Решим уравнение (2). Оно линейное.

При уравнение (2) примет вид

Тогда совокупность, а значит, и исходное уравнение, может иметь максимум два корня — это и Для того, чтобы оба этих числа являлись решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’), которое имеет вид То есть они ему удовлетворяют. Следовательно, нам подходит и является частью ответа.

Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших рассуждениях, просто в итоговых значениях это учтем.

Уравнение (2) имеет единственный корень

Получаем, что числа и — «потенциальные» решения совокупности, а значит, и исходного уравнения. При этом и — решения, если они удовлетворяют (1’), — решение, если оно удовлетворяет (2’).

Определим при которых каждое из чисел удовлетворяет «своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае будем называть число плохим. То есть определим при которых каждое число является хорошим или плохим.

Число — хорошее, если выполнено неравенство

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Число — хорошее, если

Значит, — плохое, если

Тогда если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из них ровно два хороших, а третье плохое.

Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом все три совпасть не могут, так как

1.

Пусть

Тогда — хорошие, — хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит, — часть ответа.

2.

Пусть

Тогда — хорошие и — плохое. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень и этот случай нам не подходит.

Далее пусть все три числа различны, то есть

Составим для удобства табличку:

 

1.

Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:

2.

Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:

3.

Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:

Следовательно, третья часть ответа:

Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно

Уравнение равносильно

1.

Пусть . Тогда совокупность имеет вид

Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда совокупность имеет вид

Видим, что для любого число — решение совокупности, а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы совокупность имела единственное решение, нужно, чтобы числа и совпадали или они были различны, но тогда не удовлетворяло неравенству, находящемуся с ним в системе.

Следовательно, ответ:

Уравнение равносильно

1.

Пусть . Тогда совокупность имеет вид

Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда совокупность имеет вид

Видим, что для любого число — решение совокупности, а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы совокупность имела два решения, нужно, чтобы числа и были различны и удовлетворяло неравенству, находящемуся с ним в системе.

Следовательно, окончательно получаем

Разделим обе части исходного уравнения на положительное при всех выражение

1.

Если то уравнение примет вид Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда мы имеем показательное уравнение которое имеет единственный корень

Этот корень существует, так как и по условию то есть удовлетворяет ОДЗ логарифма. Следовательно, этот корень должен лежать в отрезке значит,

Применим метод рационализации для обоих неравенств:

Решим первое неравенство:

Таким образом, решением первого неравенства будут

Решим второе неравенство:

Таким образом, его решением будут

Пересечем решения, учитывая, что и Получим

Разделим обе части уравнения на положительное при всех выражение

1.

Если то уравнение примет вид Следовательно, этот случай нам не подходит.

2.

Пусть Тогда мы имеем показательное уравнение которое имеет единственный корень

Этот корень существует, так как и по условию то есть удовлетворяет ограничениям логарифма. Следовательно, этот корень должен лежать на отрезке значит,

Применим метод рационализации для обоих неравенств:

Решим первое неравенство:

Таким образом, решением первого неравенства будут

Решим второе неравенство:

Таким образом, решением второго неравенства будут

Пересечем решения первого и второго неравенств с учетом условий и и окончательно получим

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет вид

и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех

Исследуем функцию Ее производная равна

В зависимости от знака выражения производная имеет один нуль, два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.

Пусть Тогда

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной и нарисуем схематично график функции

Мы не знаем, как располагается отрезок относительно точек и . Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

Тогда в силу симметрии точек и относительно ровно как и точек и имеем Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

В пересечении с получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

Тогда Схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Сделаем замену тогда первое неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Пересекая с получаем подходящие значения параметра :

2.

Пусть тогда следовательно, график функции схематично выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Пересекая с получаем

Следовательно, ответ:

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет вид

Тогда необходимо, чтобы оно было выполнено при всех

Исследуем функцию Ее производная равна

В зависимости от знака выражения производная имеет один нуль, два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по отдельности.

1.

Пусть Тогда

Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной, и нарисуем схематично график функции

Мы не знаем, как располагается отрезок относительно точек и . Следовательно, рассмотрим два случая.

1.1.

Тогда в силу симметрии точек и относительно ровно как и точек и имеем Следовательно, схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

В пересечении с получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.

1.2.

Тогда Схематично график функции выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Сделаем замену тогда первое неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Пересекая с условиями и получаем подходящие значения параметра

2.

Пусть тогда следовательно, график функции схематично выглядит так:

Следовательно, неравенство будет выполнено для всех если

Пересекая с получаем

Следовательно, окончательно получаем

Первое уравнение: при задает окружность с центром в точке и радиуса при задает точку при задает пустое множество. Следовательно, так как система должна иметь решения, нам не нужно рассматривать только последний случай.

1)

Пусть Тогда Проверим, удовлетворяют ли координаты точки второму уравнению:

Получили неверное равенство, следовательно, при система не имеет решений.

2)

Про первое уравнение мы уже сказали выше. Второе уравнение задает прямую

Окружность и прямая имеет единственную точку пересечения, когда прямая касается окружности. Значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

 

Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой

Подставим наши значения:

Оба значения удовлетворяют условию

Следовательно,

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке График — уголок (при ), вершина которого находится в точке левая ветвь задается уравнением правая ветвь задается уравнением или прямая (при ). При ветви уголка направлены вниз, при — вверх. Так как график находится в верхней полуплоскости, то при графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть Так как график параболы симметричен относительно прямой а график уголка — относительно прямой то при изменении от до сначала уголок правой ветвью коснется параболы, а затем правая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой. Далее левая ветвь уголка коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой) и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки касания будет положительной, то этот случай нам подходит.

Запишем условия касания и

Корнями первого уравнения являются Нам подходит так как именно при нем мы получаем положительный Заметим, что абсцисса точки касания следовательно, как говорилось выше, этот случай нам подходит.

Пусть Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках, одна из которых имеет положительную абсциссу. Следовательно, необходимо, чтобы абсцисса второй точки была неположительной. Тогда произведение абсцисс этих точек должно быть неположительно. Запишем уравнение, из которого могут быть найдены абсциссы точек пересечения левой ветви уголка и параболы:

Произведение корней должно быть неположительно, значит,

Пересечем полученные значения с Для этого сравним числа:

Следовательно, Значит, после пересечения получаем

Тогда исходное уравнение имеет ровно три положительных корня при

Рассмотрим две функции:

График — парабола, вершина которой находится в точке График — уголок (при ), вершина которого находится в точке левая ветвь задается уравнением правая ветвь задается уравнением или прямая (при ). При ветви уголка направлены вниз, при — вверх. Так как график находится в верхней полуплоскости, при графики и не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не подходит.

Пусть В силу того, что график параболы симметричен относительно прямой а график уголка — относительно прямой при изменении от до сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с параболой.

Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из них положительна, а второй — неположительна, а правая ветвь касается параболы.

1)

Проверим, возможна ли первая ситуация.

Определим при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два решения при

Следовательно, его дискриминант

Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения положительно:

Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с параболой. Для этого найдем при котором правая ветвь касается параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй ситуации):

Корни первого уравнения Нам подходит так как именно при нем мы получаем положительный Следовательно, при правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при — касается параболы, при — имеет две общие точки с параболой.

Значит, наша ситуация задается следующими

Это первая часть ответа.

2)

Проверим, возможна ли вторая ситуация.

Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна, а второй — неположительна, при Правая ветвь касается параболы при Следовательно,

Это вторая часть ответа.

По условию Функция определена при всех Найдем производную функции

Нули производной:

В зависимости от того, равен или не равен параметр нулю, второе уравнение совокупности является линейным или квадратичным. Поэтому рассмотрим эти два случая.

1)

Тогда совокупность примет вид

Производная имеет вид

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — первая часть ответа.

2)

Тогда второе уравнение совокупности квадратное. Его дискриминант равен Следовательно, нужно по отдельности рассмотреть случаи, когда дискриминант меньше нуля, равен нулю или больше нуля.

2.1)

Тогда производная имеет один нуль — это а выражение при всех Следовательно, знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — вторая часть ответа.

2.2)

Тогда нуль второго уравнения совокупности — это Следовательно, производная имеет вид Знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это которая лежит на отрезке Значит, этот случай нам подходит и — третья часть ответа.

2.3)

но также Тогда второе уравнение совокупности имеет два нуля: Заметим, что по теореме Виета из произведение сумма следовательно, Тогда производная имеет вид и знаки производной такие:

Следовательно, функция имеет две точки минимума — это и Так как то Следовательно, необходимо, чтобы

Рассмотрим параболу Она имеет направленные вверх ветви и две точки пересечения с осью абсцисс. Чтобы больший корень уравнения был больше 1, достаточно, чтобы хотя бы один корень был больше 1. Это задается следующими условиями (сразу укажем в них, что ):

Следовательно, — четвертая часть ответа.

Объединяя все подходящие значения параметра, получаем итоговый ответ: