.07 Исследование графиков на касательные и асимптоты

Функция непрерывна во всех точках, кроме , как композиция непрерывных функций. Проверим, есть ли в этой точке вертикальная асимптота. Для этого найдем односторонние пределы в точке с обеих сторон:

Односторонние пределы оказались конечны и равны друг другу. Значит, разрыв устранимый, и вертикальной асимптоты в точке нет.

Теперь найдем уравнения наклонных асимптот, а заодно убедимся, что они существуют. Уравнения асимптот имеют вид Чтобы найти коэффициенты наклона, нужно посчитать пределы на бесконечностях от :

Чтобы найти коэффициенты , посчитаем пределы от :

Получается, что у графика одна асимптота , и функция стремится к этой прямой как на положительной, так и на отрицательной бесконечности.

Теперь посмотрим, сколько раз график функции пересекает полученную асимптоту.

Данное уравнение имеет бесконечно много решений, потому что синус - периодическая функция, принимающая значение 0.

Наконец, посмотрим на график данной нам функции и наглядно убедимся, что верно его исследовали:

Добавим асимптоту :

Как и ожидалось, графики периодически пересекаются.