Данная нам функция является произведением двух непрерывных на $ℝ$ функций, то есть она и сама непрерывна на $ℝ$ . Значит, вертикальных асимптот у нее нет. Наклонные асимптоты существуют, если существуют конечные пределы:

f(x) k = xl→im∞ ----- x

b = lim f(x)− kx x→ ∞

Найдем их:

f(x) k1 = lim -----= lim arcctg(x) = 0 x→+ ∞ x x→+ ∞

f(x)- k2 = xli→m−∞ x = xl→im−∞ arcctg(x) = π

b1 = lim f(x)− k1x = lim x arcctg(x) x→+ ∞ x→+ ∞

Найдём предел:

π π − arctg 1 π − arcctgy lim x arcctg(x) = lim x(--− arctg x) = lim 2--------y-= lim -2---------- x→+ ∞ x→+ ∞ 2 y→0+ y y→0+ y

(Мы здесь воспользовались тем, что при $y > 0$ выполнено тождество $arctg 1y = arcctgy$ ) Далее, по формуле Тейлора при $y → 0+$ :

π arcctgy = arcctg(0)+ arcctg ′(0)y + ¯o(y) =--− y + ¯o(y) 2

Следовательно,

-π2 −-arcctgy π2 −-(π2 −-y-+-¯o(y)) yl→im0+ y = yl→im0+ y = 1

Аналогично найдем $b2$ :

b2 = lim f(x)− k2x = lim xarcctg(x)− πx = lim x (arcctg(x)− π ) = x→− ∞ x→ −∞ x→−∞

arcctg(1)− π = lim -------y----- y→0− y

Вновь воспользуемся тождеством, верным при $y < 0$ :

1- arcctg y = arctgy + π

Тем самым:

1 lim arcctg(y)−-π-= lim arctg-y +-π-−-π-= lim arctgy- y→0− y y→0 − y y→0 − y

Но поскольку при $y → 0$ $arctgy ∼ y$ , то этот последний предел также равен 1. Получается, что у функции две асимптоты: $y = 1$ и $y = πx + 1$ .

Посмотрим на соответствующие графики и проверим, что все правильно. Слева график функции, справа добавлены асимптоты:

Видно, что асимптоты найдены верно.

07 Исследование графиков на касательные и асимптоты