.07 Исследование графиков на касательные и асимптоты

Данная нам функция является произведением двух непрерывных на функций, то есть она и сама непрерывна на . Значит, вертикальных асимптот у нее нет. Наклонные асимптоты существуют, если существуют конечные пределы:

Найдем их:

Найдём предел:

(Мы здесь воспользовались тем, что при выполнено тождество ) Далее, по формуле Тейлора при :

Следовательно,

Аналогично найдем :

Вновь воспользуемся тождеством, верным при :

Тем самым:

Но поскольку при , то этот последний предел также равен 1. Получается, что у функции две асимптоты: и .

Посмотрим на соответствующие графики и проверим, что все правильно. Слева график функции, справа добавлены асимптоты:

Видно, что асимптоты найдены верно.