Тема 13. Решение уравнений

13.02 Задачи №13 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#45640Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sin2x − 3 cos(−x)− 3= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] 2π;-2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

а) Так как $sin2x= 1 − cos2x$ и $cos(− x)= cosx,$ то уравнение можно переписать в виде

2− 2cos2x− 3cosx− 3= 0 2 2cosx + 3cosx +1 = 0

Сделаем замену $t =cosx,$ $t∈ [−1;1]:$

2 2t⌊+ 3t+ 1 =0 t= −1 ⌈ 1 t= −2

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 2π; 7π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$718π0ππ 23π2π33-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 2π; 7π 2$ лежат точки $8π; 3$ $3π;$ $10π. 3$

Ответ:

а) $π + 2πk; ± 2π-+ 2πk, k ∈ℤ 3$

б) $8π 10π -3 ; 3π;-3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#45642Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin 2x − 2sin(−x)= 1+ cos(−x).$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − -2 ;−2π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

а) Так как $sin(−x)= − sinx$ и $cos(−x)= cosx,$ то уравнение равносильно

2sin xcosx+ 2sinx − (1 +cosx)= 0 2sin x(cosx+ 1)− (1+ cosx)= 0 (⌊cosx + 1)(2sinx − 1) = 0 cosx= −1 ⌈ 1 sinx = 2 ⌊x= π + 2πk, k ∈ ℤ || ||x= π+ 2πk, k ∈ ℤ |⌈ 6 x= 5π-+ 2πk, k ∈ ℤ 6

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 7π;−2π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$71π9π −−−−23π2π6$

Следовательно, на отрезке $[ 7π ] − 2-;−2π$ лежат точки $19π − -6-;$ $− 3π.$

Ответ:

а) $π + 2πk; π-+ 2πk; 5π +2πk, k ∈ ℤ 6 6$

б) $19π − -6- ; −3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#45644Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $4x+√x−1,5+ 3⋅4x−√x+1,5− 4x+1 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[2;6].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену

x √x− 1,5 4 =a, 4 = b.

Тогда уравнение примет вид

a ||b ab +3 ⋅b − 4a= 0 ||⋅a > 0 b2− 4b+ 3= 0 [b = 1 b = 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) $x =2,25$ лежит на отрезке $[2;6].$ Преобразуем $log224. 4$ С одной стороны:

log2424 =(1,5 + log43)2 > (1,5+ 0,5)2 = 4> 2.

С другой стороны:

log2 24 = 1(2+ log 6)2 < 1 (2 +2,75)2 = 361-< 6. 4 4 2 4 64

Следовательно, корень $x =log224 4$ также лежит на отрезке $[2;6].$

Ответ:

а) $2,25; log2424$

б) $2,25; log2424$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#45645Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- √- 5x+ x−1+ 6⋅5x− x+1− 5x+1 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[1;2,56].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $5x = a,$ $√ - 5 x−1 = b.$ Тогда уравнение примет вид

a ||b ab +6 ⋅b − 5a= 0 ||⋅a > 0 b2− 5b+ 6= 0 [b = 2 b = 3

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Заметим, что

2 2 log510= (1+ log52) > 1.

Также

( 1 )2 ( 1)2 (1+ log52)2 = 1+ 2 log54 < 1+ 2 = 2,25< 2,56 2 2 ( 1 )2 ( 2)2 (5 )2 ( 8)2 2 log515 = (1+ log53) = 1+ 3 log527 > 1+ 3 = 3 > 5 = 1,6 =2,56

Следовательно, только корень $x = log2510$ лежит на отрезке $[1;2,56].$

Ответ:

а) $log210; log2 15 5 5$

б) $2 log510$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#45647Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $25sin5x+ 61+sin5x =24sin5x+ 3⋅8 13+sin5x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[5π 7π] 2-;2- .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену

sin5x sin5x 2 = a, 3 = b.

Тогда

[1 ] [ 1 ] a ∈ 2 ;2 , b∈ 3;3 .

Уравнение примет вид

a5+ 6ab-= a3b+ 6a3 3( 2 ) ( 2 ) a a − 6 − ab a − 6 = 0 a(a2− 6)(a2 − b)= 0 ⌊ √- [1 ] |a = 6√ — нет реш ений, так как a ∈ 2;[21 ] ||a = − 6 — нет решений, так как a[∈1 ]2;2 ⌈a2= 0 — нет решений, так как a∈ 2;2 a = b a2 = b

Сделаем обратную замену:

| 4sin5x = 3sin5x ||:3sin5x > 0 ( 4)sin5x 3 =1 sin 5x= 0 5x= πk, k ∈ℤ πk- x= 5 , k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[5π 7π ] -2 ;-2 ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$5731111πππ4367ππππ 225555$

Следовательно, на отрезке $[ ] 5π-; 7π 2 2$ лежат точки $13π-; 5$ $14π; 5$ $3π;$ $16π; 5$ $17π -5- .$

Ответ:

а) $πk, k ∈ℤ 5$

б) $13π 14π 16π 17π -5-; -5-; 3π;-5-; -5-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#45777Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $750cos3x+ 6⋅125 13+cos3x = 55cos3x+ 301+cos3x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π 3π] − -4 ;− 4 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

а) Разложим основания степеней на множители:

3 3 750 = 5 ⋅6, 125 =5 , 30= 5 ⋅6.

Сделаем замены

cos3x [1 ] 5 = a, a∈ 5;5 [ ] 6cos3x = b, b∈ 1;6 6

Тогда уравнение примет вид

a3b+ 30a3 = a5+ 30ab- ( 2 ) 3(2 ) ab a − 30 − a a − 30 = 0 a (a2− 30)(b− a2)= 0 ⌊a= 0 — нет решений, так как a ∈ [15;5] || 2 [1 ] ⌈a = 30 — нет реш ений, так как a ∈ 5;5 a2 = b cos3x cos3x || cos3x 25 = 6 :6 > 0 (25)cos3x -6 = 1 cos3x = 0 3x = π+ πk, k ∈ ℤ 2 x = π-+ πk, k ∈ℤ 6 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 7π 3π ] − 4-;− 4- ,$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения.

$−−−− 37375πππππ − 44266-$

Следовательно, на отрезке $[ ] 7π 3π- − 4 ;− 4$ лежат точки $3π − 2 ;$ $7π- − 6 ;$ $− 5π. 6$

Ответ:

а) $π+ π-k, k ∈ ℤ 6 3$

б) $3π 7π 5π − -2 ; − 6-; − 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#45835Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) log22 4x2 + 3log0,5(8x)= 1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,15;1,5].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

а) По свойствам логарифмов

2( 2) ( 2)2 2 log24x = log2(2x) = 4log2(2x).

Также

log0,5(8x)= − log2(8x)= − (log24+ log2(2x)).

Сделаем замену $t =log (2x). 2$ Тогда уравнение примет вид

2 4t −⌊ 3t− 7 =0 t= −1 ⌈ 7 t= 4

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Корень $1 x= 4$ лежит на отрезке $[0,15;1,5].$

Число $√- 48> 1.$ Сравним это число с $3 2 :$

4√- 3 8 ∨2 24√8 ∨3 4 4 2 ⋅8 ∨3 128 ∨81

Следовательно, $√4- 3 8> 2,$ значит, $√4- x= 8$ не лежит на отрезке $[0,15;1,5].$

Ответ:

а) 0,25; $√- 48$

б) 0,25

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#45836Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log2(8x2)− log (2x)− 1 = 0. 2 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,4;0,8].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

а) По свойствам логарифма имеем:

log22(8x2) =(log2(2 ⋅(2x)2))2 = = (log22+ 2log2(2x))2 = (1 +2log2(2x))2 .

Также

log4(2x)= 1log2(2x). 2

Тогда после замены $t= log2(2x)$ уравнение примет вид

(1 +2t)2− 1t− 1= 0 2 8t2+ 7t= 0 ⌊ 7 | t= −8 ⌈ t= 0

Сделаем обратную замену:

⌊ log (2x)= − 7 |⌈ 2 8 log2(2x)= 0 ⌊ 2x= 2− 78 |⌈ 2x= 1 ⌊ 1 |x= 1⋅ 28 |⌈ 2 2 x= 1 2 ⌊ 8√2- ||x= 4 ⌈ x= 0,5

б) Корень $x= 0,5$ лежит на отрезке $[0,4;0,8].$

Число $√- 82< 2,$ следовательно,

- 1⋅√82< 1. 4 2

Тогда сравним $1⋅√82- 4$ с 0,4:

√82- 2 4 ∨ 5 8√- 5 2∨ 8 58⋅2∨ 88 58∨ 223 6252∨ 10242 ⋅8

Следовательно,

√- 1 ⋅ 82 < 0,4. 4

Значит, корень $x= 1 ⋅ 8√2 4$ не лежит на отрезке $[0,4;0,8].$

Ответ:

а) 0,5; $√ - 8-2 4$

б) 0,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#45837Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2cosx⋅sin2x = 2sinx +cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 9π ] 3π;-2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

4sinx cos2x= 2 sinx+ cos2x ( 2 ) 2sinx 2 cos x− 1 − cos2x = 0 2sinx cos2x− cos2x= 0 cos2x(2sin x− 1)= 0 ⌊cos2x= 0 ⌈ sin x= 1 ⌊ π 2πk |x = 4 +-2-, k ∈ ℤ || π- ||x = 6 + 2πk, k ∈ℤ ⌈ 5π x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 9π] 3π;-2 ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$9111π5732πππ5π 3π24446$

Следовательно, на отрезке $[ 9π ] 3π; 2$ лежат точки $13π 4 ;$ $15π 4 ;$ $25π- 6 ;$ $17π . 4$

Ответ:

а) $π+ πk-; π-+ 2πk; 5π +2πk, k ∈ ℤ 4 2 6 6$

б) $13π 15π 25π 17π -4-; -4-; -6-;-4-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#45838Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sinx ⋅sin2x =2 cosx +cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 5π ] − -2 ;−π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

4sin2xcosx− 2cosx− cos2x= 0 ( 2 ) − 2cosx 1− 2sin x − cos2x= 0 − 2cosxcos2x − cos2x =0 cos2x(2cosx+ 1)= 0 ⌊cos2x= 0 ⌈ cosx= − 1 ⌊ π π2k |x= 4 +-2-, k ∈ ℤ ⌈ 2π x= ± 3- +2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] − 5π;−π , 2$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−−−π5π9π7π5π4π- 24443$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] − 2-;−π$ лежат точки $9π − -4 ;$ $7π − 4-;$ $4π − 3-;$ $5π − 4 .$

Ответ:

а) $π+ πk-; ± 2π-+ 2πk, k ∈ℤ 4 2 3$

б) $9π 7π 4π 5π − -4 ; − 4-; − 3-; − 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#40312Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 2sin3(π+ x)= 1cos x − 3π . 2 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;− 5π . 2 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулами приведения:

$pict$

Тогда

2(− sin x)3 = 1(− sin x) 2 3 1 − 2sin x = −2 sinx

Домножим обе части уравнения на $− 2 :$

4sin3x= sinx 3 4sin x − sinx =0

Разложим на множители:

( ) sinx 4sin2x− 1 = 0 sinx(2sin x− 1)(2sin x+ 1)= 0 ⌊ sin x= 0 || 1 ||sin x= 2 ⌈sin x= − 1 2 ⌊x= πk, k ∈ ℤ ||x= π + 2πk, k ∈ ℤ ||x= 65π +2πk, k ∈ ℤ || 6π ⌈x= − 65π + 2πk, k ∈ℤ x= − 6 + 2πk, k ∈ ℤ

Таким образом, получили ответ: $π- 5π πk; ± 6 +2πk; ± 6 + 2πk, k ∈ ℤ.$

б) Сделаем отбор корней по окружности:

$115779ππππ −−−−−366π22-$

Таким образом, ответ: $− 19π; 6$ $− 3π;$ $− 17π. 6$

Ответ:

а) $πk; ±π-+ 2πk; ± 5π+ 2πk, k ∈ℤ 6 6$

б) $− 19π ; −3π; − 17π 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#45839Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) 2cos3(x− π)= sin 3π +x . 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 9π; 11π . 2 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

а) Пребразуем уравнение:

− 2 cos3x =− cosx ( 2 ) co⌊sx 2 cos x− 1 = 0 cosx = 0 |⌈ 1 cosx = ±√2- ⌊ π- |x= 2 + πk, k ∈ ℤ ⌈ π- πk- x= 4 + 2 , k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[9π 11π ] -2 ;-2- ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$2119191ππππ 4422$

Следовательно, на отрезке $[ 9π 11π] 2-;-2-$ лежат точки $9π 2-;$ $19π -4-;$ $21π -4-;$ $11π 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; π+ πk-, k ∈ ℤ 2 4 2$

б) $9π 19π 21π 11π -2 ;-4-; -4-;-2-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#45840Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $3⋅9x+1− 5⋅6x+1+ 4x+1,5 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − π; π . 2 2$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

27⋅9x− 30⋅6x+ 8⋅4x = 0 |:4x >0 ( ) ( ) 27⋅ 3 2x − 30 ⋅ 3 x +8 = 0 2 2

Сделаем замену $( )x t = 32 >0.$ Тогда уравнение примет вид

27t2 − 30t+ 8= 0.

Дискриминант уравнения равен

2 D =30 − 4⋅27⋅8 = 9⋅4⋅25− 4⋅9⋅24= 4⋅9.

Следовательно, корни уравнения

⌊ 4 ||t= 9 ⌈ 2 t= 9

Сделаем обратную замену:

⌊( 3)x 4 ⌊ | 2 = 9 x= − 2 |⌈( )x ⇔ ⌈ 3 = 2 x= − 1 2 3

б) Так как $3 <π < 4,$ то $3< π-< 2. 2 2$ Тогда

− π-< − 3 < −1< 0 < π 2 2 2 4 π −2 =− 2 < −2-

Следовательно, на отрезке $[ ] − π; π 2 2$ лежит только корень $x= − 1.$

Ответ:

а) $− 2; −1$

б) $− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#45841Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $25x−0,5− 13⋅10x−1+ 4x+0,5 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ π ] − 2;π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

| 1⋅25x− 13 ⋅10x +2 ⋅4x = 0||: 4x > 0 5 10 | 10 ( )2x ( )x 2⋅ 5 − 13 ⋅ 5 + 20 = 0 2 2

Сделаем замену $( ) t = 5 x , 2$ тогда уравнение примет вид

2t2− 13t+ 20= 0 ⌊ 5 |t= 2 ⌈ t= 4

Сделаем обратную замену:

⌊( )x 5 = 5 ⌊ ||( 2) 2 ⇔ |⌈x= 1 ⌈ 5 x x= log 54 2 =4 2

б) Так как $3 <π < 4,$ то

( ) [ ] − 3;3 ⊂ − π;π . 2 2

Число $( ) 1∈ − 3 ;3 . 2$ Следовательно, корень $x = 1$ лежит в отрезке $[ ] − π;π . 2$

Далее имеем:

1 = log5 5< log54< log525 =2. 2 2 2 2 4

Тогда корень $x = log52 4$ также лежит в отрезке $[ π- ] −2 ;π .$

Ответ:

а) 1; $log2,54$

б) 1; $log2,54$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#45842Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin 2x + cos2x =1.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − -2 ;−2π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение решается с помощью формулы вспомогательного аргумента. Разделим обе части равенства на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов перед синусом и косинусом, то есть на $√ ------ √- 12+ 12 = 2 :$

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 2 ;−2π ,$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−− 73 12ππ1ππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 3π; − 11π; − 2π. 4$

Ответ:

а) $πk; π-+πk, k ∈ ℤ 4$

б) $11π − 3π; −-4-; −2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#45224Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $cos2x+ sin2x +1 =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;2- .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Показать ответ и решение

а) Решим уравнение двумя способами.

Способ 1.

Сделаем замену $2x = y$ и запишем уравнение в следующем виде:

1⋅cosy+ 1⋅siny = −1.

Воспользуемся формулой вспомогательного аргумента. Для этого разделим обе части равенства на корень из суммы квадратов коэффициентов перед синусом и косинусом, то есть на $√ ------ √- 12+ 12 = 2 :$

√1-cosy+ √1-siny = −√1-. 2 2 2

Так как $π- π- -1- cos4 = sin 4 = √2 ,$ то уравнение можно записать как

sin π-cosy+ cos πsin y = − 1√-; 4 4 2 (π- ) -1- sin 4 +y = −√2-.

Здесь мы воспользовались формулой $sinα cosβ+ cosα sinβ = sin(α+ β).$

Решим полученное уравнение:

⌊ π-+y = − π-+ 2πk ⌊ y = − π-+ 2πk |⌈4 4 ⇔ ⌈ 2 где k ∈ ℤ. π-+y = − 3π + 2πk y = −π +2πk 4 4

Сделаем обратную замену:

⌊ π- ⌊ π- ⌈2x= − 2 + 2πk ⇔ |x =− 4 + πk где k ∈ ℤ. 2x= − π+ 2πk ⌈x =− π-+ πk 2

Способ 2.

Воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, а также распишем 1 как $sin2x +cos2x:$

cos2x− sin2x +2sinxcosx+ sin2x+ cos2x= 0 ◟---=◝co◜s2x---◞ ◟-=s◝in◜2x-◞ ◟---◝=◜1----◞ 2 cos2x+ 2sinxcosx= 0 cosx(cosx + sinx)= 0

$pict$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности.

$4739ππππ− π-= 15π 22 4 4$

Следовательно, на отрезке $[ 9π] 3π; 2$ лежат корни $7π 2 ;$ $15π 4 ;$ $9π- 2 .$

Ответ:

а) $− π+ πk; − π-+ πk, k ∈ℤ 2 4$

б) $7π 15π 9π -2 ;-4-; 2-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#45843Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

5sin x− 4sin3x = 2sin2x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 7π ] − 2 ;−2π .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

5sinx− 4sin3x − 4sinxcosx =0 ⇔ 2 sinx(5− 4sin x− 4cosx)= 0 ⇔ sinx(4cos2x − 4 cosx +1)= 0 ⇔ 2 s⌊inx(2cosx − 1) = 0 ⇔ sinx = 0 |⌈ 1 ⇔ cosx= 2 ⌊ | x= πk,k ∈ℤ |⌈ π x= ± 3-+2πn,n ∈ℤ

$−−−− 73 72ππππ 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат точки $− 3π;− 7π;− 2π. 3$

Ответ:

а) $πk,± π-+2πn, 3$ где $k,n ∈ ℤ$

б) $7π − 3π;− 3-;−2π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#45844Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

7cosx− 4cos3x = 2√3sin 2x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−4π;− 3π].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

7cosx− 4cos3x − 4√3-sin xcosx= 0 ⇔ 2 √ - cosx(7 − 4 cos x√− 4 3sinx)= 0 ⇔ cosx(4 sin2x− 4 3 sinx+ 3)= 0 ⇔ √ -2 c⌊osx(2 sinx− 3) =0 ⇔ cosx = 0 |⌈ √- ⇔ sinx = -3- ⌊ π 2 | x= 2-+ πk,k ∈ ℤ || || x= π-+ 2πn,n ∈ ℤ |⌈ 3 x= 2π +2πm, m ∈ℤ 3

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[−4π;−3π],$ концы этой дуги и точки, которые лежат на ней.

$−−−−−34 7 1πππ101ππ 233$

Следовательно, на отрезке $[−4π;−3π]$ лежат точки $− 11π;− 7π;− 10π. 3 2 3$

Ответ:

а) $π+ πk, π-+ 2πn, 2π-+ 2πm, 2 3 3$ где $k,n,m ∈ ℤ$

б) $11π 7π 10π − -3- ;− 2-;−-3-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#45845Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

16log2x +4 log1x − 3 = 0 9 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[0,5;5].$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

а) Так как $log x = 1log x, 9 2 3$ то после замены $t= log x 3$ уравнение примет вид

12 16 ⋅4t − 4t− 3= 0 ⇔ 2 4t − 4t− 3= 0 ⇔ (2t− 1)2 =4 ⇔ ⌊ 1 ||t= − 2 ⌈ 3 t= 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ √ - | log3x =− 12 |x =3− 12 = √1-=--3 |⌈ ⇔ |⌈ 3 3 log3x = 3 x =3 32 = 3√3 2

б) $3√3 = √27> √25-= 5,$ следовательно, $x= 3√3$ не лежит в отрезке $[0,5;5].$ Так как $1,5 < √3< 2,$ то $0,5 < √3< 2, 3 3$ следовательно, корень $x = √3 3$ лежит в отрезке $[0,5;5].$

Ответ:

а) $√- -3;3√3 3$

б) $√ - --3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#45846Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sin2(π-− x)+ sin 2x = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 9π ] 3π;-2 .$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

2cos2x+ 2sinx cosx = 0 ⇔ 2⌊cosx(cosx +sinx)= 0 ⇔ cosx = 0 ⌈ ⇔ sinx = − cosx |:cosx ⁄=0 ⌊ ⌈ cosx = 0 ⇔ tg x= −1 ⌊ π- || x= 2 + πk,k ∈ ℤ ⌈ π x= − 4 + πn,n ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим дугу, соответствующую отрезку $[ ] 3π; 9π , 2$ концы этой дуги и принадлежащие ей точки серий, полученных в пункте а).

$3971πππ5π 224$

Следовательно, на отрезке $[ 9π] 3π; 2$ лежат точки $7π 15π 9π- 2 ; 4 ;2 .$

Ответ:

а) $π+ πk, − π-+ πn, k,n∈ ℤ 2 4$

б) $7π 15π 9π -2 ;-4 ;2-$