16.02 Задачи №16 из сборника И.В. Ященко
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый год долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в 2028 и 2029 годах должны быть равными;
— к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платеж в 2030 году составил 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2028 году?
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв 
тыс. рублей
тыс. рублей, а за 
тыс. рублей — платеж в 2028 и 2029 годах.
Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в тыс. рублей.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Выразим из этого уравнения 
и найдем его:
Следовательно, платеж в 2028 году составил 400 тыс. рублей.
400 тыс. рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь в течение срока действия кредита долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в 2028 и 2029 годах платежи по кредиту равные;
– в 2030 году выплачивается остаток по кредиту.
Найдите платеж в 2029 году, если общие выплаты по кредиту составили 733,5 тыс. рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв 
тыс. рублей
тыс. рублей, за 
тыс. рублей — платеж в 2028 и 2029 годах, за 
тыс.
рублей — платеж в 2030 году. Все неизвестные в таблице измеряются в тыс.
рублей.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Пусть 
тыс. рублей — общая сумма выплат по кредиту.
Следовательно,
Подставляя это в уравнение (1), получим уравнение на 
Следовательно, платеж в 2029 году составил 210 тыс. рублей.
210 тысяч рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.
1-й вариант:
– кредит предоставляется на 3 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
2-й вариант:
– кредит предоставляется на 2 года;
– в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 24%;
– в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Максим подсчитал, то выяснил, что общая сумма выплат по 1-му варианту кредитования на 373 600 рублей больше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?
Источники:
Составим для каждого варианта таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв
за 
тыс. рублей — сумму, которую планируется взять в кредит, за 
тыс.
рублей — ежегодный платеж по 1-му варианту, за 
тыс. рублей — ежегодный
платеж по 2-му варианту. Соответственно все неизвестные в таблицах измеряются
в тыс. рублей.
1-й вариант:
Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
2-й вариант:
Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Так как общая сумма выплат по 1-му варианту на 373,6 тыс. рублей больше общей суммы выплат по второму варианту, то
Следовательно, получаем:
Следовательно, Максим планирует взять в кредит 7 280 тыс. рублей 
7,28
млн рублей.
7,28 млн рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Борису два варианта кредитования.
1-й вариант:
— кредит предоставляется на 3 года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
2-й вариант:
- кредит предоставляется на 2 года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 16% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Борис подсчитал, то выяснил, что по 1-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на 353740 рублей меньше, чем по 2 -му варианту. Какую сумму Борис планирует взять в кредит?
Источники:
Составим для каждого варианта таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв
за 
тыс. рублей — сумму, которую планируется взять в кредит, за 
тыс.
рублей — ежегодный платеж по 1-му варианту, за 
тыс. рублей — ежегодный
платеж по 2-му варианту. Соответственно все неизвестные в таблицах измеряются
в тыс. рублей.
1-й вариант:
Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
2-й вариант:
Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Так как общая сумма выплат по второму варианту на 353,74 тыс. рублей больше общей суммы выплат по первому варианту, то
Следовательно, получаем:
Следовательно, Максим планирует взять в кредит 8 937 тыс. рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июне 2025 года Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причем каждый из платежей в 2027 и 2028 годов в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;
— в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 3 304 840 рублей.
Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 10 904 840 рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
рублей — платеж в 2026
году.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Подставим в это уравнение 
и выразим
Общая сумма выплат равна
Подставим 
в уравнение 
Следовательно, в кредит планируется взять 8,4 млн рублей.
8,4 млн рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июне 2025 года бизнесмен Олег Вадимович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причём каждый из платежей 2027 и 2028 годов в 1,6 раза больше платежа предыдущего года;
— в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 1770240 рублям. Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 8994240 рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
рублей — платеж в 2026
году.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Подставим в это уравнение 
и выразим
Общая сумма выплат равна
Подставим 
в уравнение 
Следовательно, в кредит планируется взять 5,65 млн рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15 июня 2025 года Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
млн рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
млн рублей — платеж в 2028 и
2029 годах.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Общая сумма выплат по кредиту равна
Подставим в это неравенство 
и выразим 
Следовательно, наименьшее целое 
Тогда сумма кредита равна 8 млн
рублей.
8 млн рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15 июня 2025 года бизнесмен Данила Сергеевич планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;
— в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту не превысит 20 млн рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
млн рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
млн рублей — платеж в 2028 и
2029 годах.
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Общая сумма выплат по кредиту равна
Подставим в это неравенство 
и выразим 
Следовательно, наибольшее целое 
Тогда сумма кредита равна 13 млн
рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле Егор планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Егору оформить кредит на следующих условиях:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разной для разных годов);
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.
В первом банке процентная ставка по годам составляет 15, 20 и 10 процентов соответственно, а во втором — 20, 10 и 15 процентов соответственно. Егор выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 13 до 14 тысяч рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
млн рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
млн рублей — ежегодный
платеж в первом банке, за 
млн рублей — ежегодный платеж во втором
банке.
Первый банк:
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Второй банк:
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Пусть 
Тогда можно выразить 
и 
Видим, что 
Следовательно, 
то есть общая сумма
выплат в первом банке меньше общей суммы выплат во втором банке,
следовательно, предложение, поступившее от первого банка, выгоднее, чем от
второго. Эта выгода по общим выплатам равна 
Следовательно,
получаем:
Следовательно, целое 
Тогда сумма кредита равна 7 млн рублей.
7 млн рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле Анна планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Анне оформить кредит на следующих условиях:
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разным для разных годов);
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью. В первом банке процентная ставка по годам составляет 10, 20 и 15 процентов соответственно, а во втором — 15, 10 и 20 процентов. Анна выбрала наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 14 до 15 тысяч рублей.
Источники:
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за 
млн рублей
сумму, которую планируется взять в кредит, за 
млн рублей — ежегодный
платеж в первом банке, за 
млн рублей — ежегодный платеж во втором
банке.
Первый банк:
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Второй банк:
Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:
Пусть 
Тогда можно выразить 
и 
Видим, что 
Следовательно, 
то есть общая сумма
выплат в первом банке меньше общей суммы выплат во втором банке,
следовательно, предложение, поступившее от первого банка, выгоднее, чем от
второго. Эта выгода по общим выплатам равна 
Следовательно,
получаем:
Следовательно, целое 
Тогда сумма кредита равна 4 млн рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Источники:
Пусть 
тыс. руб. — размер взятого кредита. Поскольку долг должен
уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый
год долг должен уменьшаться на 
тыс. руб., и мы получим схему
дифференцированных платежей. Составим таблицу, все расчеты будем вести в тыс.
рублей:
Найдем сумму выплат с первой по четвертую:
Найдем сумму выплат с пятой по восьмую:
Тогда сумма всех выплат равна
По условию задачи сумма всех выплат равна 1125 тыс. рублей, получаем уравнение
Таким образом, сумма взятая в кредит равна 600 тыс. рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
– каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тыс. рублей.
Источники:
Пусть 
тыс. руб. — размер взятого кредита. Поскольку долг должен
уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый
год долг должен уменьшаться на 
тыс. руб., и мы получим схему
дифференцированных платежей. Составим таблицу, все расчеты будем вести в тыс.
рублей:
Найдем сумму выплат с первой по пятую:
Найдем сумму выплат с шестой по десятую:
Тогда сумма всех выплат равна
По условию задачи сумма всех выплат равна 1470 тыс. рублей, получаем уравнение
Таким образом, сумма взятая в кредит равна 750 тыс. рублей.
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 12% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Источники:
За один год на вкладе «А» сумма становится больше в 1,2 раза. Таким образом,
через три года на вкладе «А» будет сумма, которая составляет 
часть
от первоначальной суммы.
Аналогично за один год по вкладу «Б» сумма становится больше в 1,12 раза.
Таким образом, через два года на вкладе «Б» будет сумма, которая составляет
часть от первоначальной суммы. Пусть в третий год на вкладе «Б»
начислили 
тогда к концу третьего года на вкладе «Б» будет 
часть от первоначальной суммы.
Требуется, чтобы вклад «Б» был менее выгодным. Тогда получаем неравенство:
Поскольку требуется наибольшее натуральное решение, получаем 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клиент хочет открыть вклад на три года. По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
Источники:
За один год на вкладе «А» сумма становится больше в 1,1 раза. Таким образом,
через три года на вкладе «А» будет сумма, которая составляет 
часть
от первоначальной суммы.
Аналогично за один год на вкладе «Б» сумма становится больше в 1,14 раза.
Таким образом, через два года на вкладе «Б» будет сумма, которая составляет
часть от первоначальной суммы. Пусть в третий год начислили
тогда к концу третьего года на вкладу «Б» будет 
часть от
первоначальной суммы.
Требуется, чтобы вклад «Б» был более выгодным. Тогда имеем неравенство:
Поскольку требуется наименьшее натуральное решение, получаем 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 6 лет на сумму 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 
по сравнению с
концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньша долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит
498 тыс. рублей. Найдите 
Источники:
Пусть 
тыс. рублей, 
тыс. рублей — сумма, на которую долг
уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу,
отслеживающую изменения долга с 2025 по 2031 год:
Так как после последнего платежа долг полностью выплачен, то 
откуда 
Значит, 
тыс. рублей. Общая сумма выплат по кредиту
равна
Тогда получаем уравнение
Значит, 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь с 2027 по 2030 год долг возрастает на 
по сравнению с
концом предыдущего года;
– каждый январь c 2031 по 2034 год долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньша долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите 
если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч
рублей.
Источники:
Пусть 
тыс. рублей, 
тыс. рублей — сумма, на которую долг
уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу,
отслеживающую изменения долга с 2026 по 2034 год:
Так как после последнего платежа долг полностью выплачен, то 
откуда 
Значит, 
тыс. рублей. Общая сумма выплат по кредиту
равна
Тогда получаем уравнение
Значит, 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Производство 
тыс. единиц продукции обходится в 
млн
рублей в год. При цене 
тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи
этой продукции (в млн рублей) составляет 
При каком наименьшем
значении 
через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн
рублей при некотором значении 
Источники:
Если за 12 лет суммарная прибыль составит 744 млн рублей, то за 1 год она
составит 
млн рублей. Следовательно, нам необходимо найти
наименьшее 
при котором возможно неравенство
То есть это неравенство может иметь решения. Перепишем его в виде
Графиком функции 
является парабола, ветви
которой направлены вверх. Эта парабола будет иметь хотя бы одну точку,
находящуюся не выше оси абсцисс (то есть точку, значение функции в которой
), если ордината вершины параболы будет неположительной (то есть
).
Найдем абсциссу вершины параболы:
Тогда ордината вершины параболы равна
Следовательно, получаем неравенство
Следовательно, наименьшее 
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остается равным 1050 тыс. рублей;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Источники:
Составим таблицу в тыс. рублей, где 
тыс. рублей — платеж в 2026 и 2027
годах.
По условию после последней выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,
Таким образом, последняя выплата больше первой на
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2025 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 
по сравнению с концом предыдущего
года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остается равным 220 тыс. рублей;
– выплаты в 2029 и 2030 годах равны;
– к июлю 2030 года долг будет выплачен полностью.
Найдите 
если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер
выплат составит 420 тыс. рублей.
Источники:
Пусть 
тыс. рублей, 
тыс. рублей. Составим таблицу,
позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования. Пусть 
тыс. рублей — выплата в 2029 и 2030 годах.
Так как долг в 2030 году выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:
Также по условию сумма выплат равна
Таким образом, имеем систему:
Отсюда получаем
20
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| Вариант 1 | – каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; |
| – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; |
|
| – кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами |
|
| Вариант 2 | – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; |
| – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; |
|
| – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; |
|
| – к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен |
|
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Источники:
Обозначим размер кредита 
рублей. Далее все расчеты будем вести в
рублях.
Рассмотрим первый вариант.
Пусть размер выплаты равен 
тогда в первый год после начисления
процентов сумма долга составила 
а после выплаты составила 
На второй год сумма сначала увеличилась до 
а затем была
полностью выплачена, то есть сокращена до нуля. Тогда имеем уравнение:
Общая сумма выплат в рублях в первом варианте равна
Рассмотрим второй вариант.
Так как в каждом году по 12 месяцев, то кредит берется на 24 месяца, то есть
каждый месяц долг сокращался на 
Исходя из вышесказанного, составим таблицу.
Суммируя выплаты в рублях по всем месяцам, с привлечением формулы суммы арифметической прогрессии получим
Тогда искомая разница в рублях равна
35700 рублей
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
