Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 10 класс → .05 Закл 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 10 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67599Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество корней уравнения

2 |x|+ |x +1|+ ...+|x+ 2018|= x +2018x− 2019

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.1(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самое лучшее, что можно делать в задачах такого вида (когда явных корней не видно или их просто долго искать) это анализировать уравнение по интервалам. Для начала давайте разложим на множители квадратный трёхчлен и поймём, какие знаки он принимает на промежутках. Что тогда можно сказать сразу, учитывая, что левая часть у нас всегда положительна?

Подсказка 2

Верно, на интервале от -2019 до 1 квадратный трёхчлен отрицательный, а левая часть всегда положительна. Значит, корней тут нет. Давайте теперь проанализируем интервалы, где правая часть положительна. Что можно сказать про эти два интервала? Попробуйте понять, как на этих промежутках раскрываются модули.

Подсказка 3

Ага, от 1 до бесконечности они все раскроются положительно, откуда найти, сколько находится корней на этом промежутке, не составляет труда. Второй промежуток можно рассмотреть аналогично или же понять, что функции слева и справа симметричны относительно одной оси. Тогда на втором промежутке столько же корней, сколько на первом.

Показать ответ и решение

При $x∈ (− 2019;1)$ корней нет, так как на указанном интервале левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна.

При $x ∈[1;∞ )$ все модули раскрываются со знаком “ $+$ ”, поэтому уравнение примет вид $g(x)= 0,$ где $2 g(x)=x − x− 2019 − (1+ 2+...+2018).$ Поскольку $g(1)< 0,$ это квадратное уравнение имеет единственный корень на промежутке $[1;∞ ).$

Поскольку графики функций в левой и правой части симметричны относительно прямой $x= −1009$ (т.е. $f(x)= f(−2018− x)$ ), то на промежутке $(− ∞;−2019]$ столько же корней, сколько и на промежутке $[1;+∞ ),$ т.е. ровно один корень. Итого, у данного уравнения два корня.

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79994Максимум баллов за задание: 7

Даны натуральные числа $a$ и $b.$ Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$ таких, что число $an+ 1$ не делится на $b n + 1.$

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.6(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Назовём натуральное $n$ плохим, если $an+1$ не делится на $nb+1.$ Наша цель — доказать, что плохих чисел бесконечно много.

Первое решение. Докажем, что при любом чётном $n$ одно из чисел $n$ и $3 n$ плохое; из этого, очевидно, следует требуемое. Предположим противное. Тогда $n .. b a + 1.n + 1$ и $n3 .. 3b .. b a +1.n + 1.n +1.$ Иначе говоря, $n ( b ) a ≡− 1 mod n + 1$ и $n3 ( b ) a ≡ −1 mod n + 1.$ Но отсюда следует, что $n3 nn2 n2 ( b ) − 1 ≡a = (a ) ≡ (−1) ≡1 modn + 1 ;$ это невозможно, ибо $b n +1 >2.$ Противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При $a= 1$ утверждение задачи очевидно, поэтому будем считать, что $a> 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма. Пусть $a >1,m$ и $n$ — натуральные числа. Предположим, что $an+ 1$ делится на $am+ 1.$ Тогда $n$ делится на $m.$

Доказательство. Пусть $r$ — остаток от деления $n$ на $m,n− r= qm.$ Тогда

0 ≡an +1= aqm+r+ 1≡ (− 1)qar+ 1=±ar +1(mod am+ 1)

то есть одно из чисел $r a ± 1$ делится на $m a + 1.$ Но это невозможно при $r⁄= 0,$ ибо $r m 0< a ±1 <a + 1.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем, что существует бесконечно много плохих чисел вида $ak.$ Действительно, если $k aa +1$ делится на $akb+ 1,$ то по лемме $ak$ должно делиться на $kb.$ Это невозможно, если, например, $k$ — простое число, большее $a.$ Осталось заметить, что таких простых чисел бесконечно много.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Мы опять же исследуем лишь случай $a> 1.$

Пусть $p$ — некоторый простой делитель числа $(a(a− 1))b+1.$ Положим $ni = a(a− 1)+ ip;$ тогда при любом $i$ имеем $nbi + 1≡ (a(a− 1))b+ 1≡ 0(mod p),$ то есть $nbi + 1$ делится на $p.$

С другой стороны, покажем, что числа $ani + 1$ и $ani+1 +1 =ani+p+ 1$ не могут одновременно делиться на $p.$ Действительно, иначе на $p$ делилась бы и их разность $ani(ap − 1);$ но это невозможно, ибо $ap− 1≡ a− 1(mod p)$ по малой теореме Ферма, а числа $a$ и $a− 1$ взаимно просты с $p.$

Итак, либо $ani + 1$ не делится на $p$ (и, значит, на $nbi +1$ ), либо $ani+1 +1$ не делится на $p$ (и, значит, на $nbi+1+ 1$ ). Поэтому среди чисел $n1,n2,...$ бесконечно много плохих.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81907Максимум баллов за задание: 7

Дан остроугольный треугольник $ABC,$ в котором $AB <AC.$ Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, а $D$ — основание высоты, проведенной из $A.$ На отрезке $MN$ нашлась точка $K$ такая, что $BK = CK.$ Луч $KD$ пересекает окружность $Ω,$ описанную около треугольника $ABC,$ в точке $Q.$ Докажите, что точки $C,N,K$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку $BC.$ Ясно, что на нём лежит точка $K.$ Отразим относительно него точку $A,$ получим точку $′ A ,$ которая также лежит на $Ω.$ Заметим, что $ΔAKD$ и $′ ΔAKA$ равнобедренные (первый из-за того, что $MN$ — серединный перпендикуляр к $AD,$ а второй в силу симметрии). Следовательно, точка $K$ равноудалена от точек $D,A$ и $′ A .$ Но для прямоугольного $′ ΔDAA$ (потому что $′ AA ∥ BC$ ) существует лишь одна точка с таким свойством, а именно середина его гипотенузы $′ A D.$ Таким образом, $D,K$ и $′ A$ коллинеарны. Отсюда $′ ′ ∠KQC = ∠A QC = ∠A AC = ∠ACB = ∠ANM.$ Отсюда и следует нужная вписанность.

$PIC$

Предыдущая подтема

Следующая подтема