Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 11 класс → .01 Закл до 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 11 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90286Максимум баллов за задание: 7

Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x2 +px+ q,$ где $p,q$ — целые, $1 ≤p≤ 1997,1≤ q ≤ 1997.$ Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем составить соответствие между многочленами двух видов. Если для каждого многочлена первого вида мы сможем найти свой многочлен второго вида, значит, многочленов второго вида будет не меньше.

Подсказка 2

Пусть у нас есть многочлен с корнями -m и -n, соответствующий условиям. Что тогда можно сказать про многочлен x^2 + nx+mn?

Подсказка 3

Дискриминант этого многочлена равен n(n-4m). Если вдруг m >= n, то такой многочлен не будет иметь корней. Осталось показать, что каждому многочлену с корнями сопоставлен свой многочлен без корней. Остается только найти многочлен без корней, который не представляется как x^2+nx+mn.

Показать ответ и решение

Пусть - $m ≤− n$ — целые корни трёхчлена $x2 +px+ q.$ Тогда $m+ n =p, mn = q,$ следовательно,

m,n> 0, 0 <mn ≤ 1997, n ≤m ≤ 1997

Рассмотрим трёхчлен $x2+ nx+ mn.$ Его коэффициенты — целые числа от $1$ до $1997,$ и оно не имеет корней, так как

2 D =n − 4mn = n(n − 4m)< 0

Итак, каждому трёхчлену с целыми корнями мы поставили в соответствие трёхчлен, не имеющий корней; при этом разным трёхчленам сопоставлены разные. Кроме того, трёхчлены вида $x2+px+ q,$ где $p$ чётно, $q$ нечётно и $D < 0,$ не представимы в виде $x2+ nx+ mn.$ Значит, трёхчленов, не имеющих корней, больше.

Ответ: Больше трёхчленов, не имеющих корней.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#96386Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что любое натуральное число $a > 1 1$ можно продолжить возрастающей последовательностью $a , 2$ $a, 3$ …так, чтобы при любом $k$ сумма $2 2 2 a1+a2+ ...+ ak$ делилась на $a1+a2+ ...+ ak.$

Источники: Всеросс., 1995, ЗЭ, 11.5(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте добавлять a_(n+1). Пусть A_(n+1) - сумма квадратов, B_(n+1) - сумма чисел. Попробуйте выразить A_(n+1) через a_(n+1), A_n и B_n^2. Для чего мы это хотим сделать? Мы просто хотим выразить a_(n+1).

Подсказка 2

A_(n+1) = A_n + (a_(n+1) - B_n) (a_(n+1) + B_n) + B_n^2. Поймите отсюда какие-нибудь делимости, а затем угадайте, чему может равняться a_(n+1).

Подсказка 3

Возьмите a_(n+1) = A_n + B_n^2 - B_n. Поймите, что оно подходит под все условия в задаче.

Показать доказательство

Докажем, что для любых чисел $a,a ,...,a , 1 2 n$ удовлетворяющих условию задачи, можно найти такое $a , n+1$ что

2 2 2 2 An+1 =a1+ a2+ ...+an +an+1

делится на

Bn+1 =a1+ a2+ ...+an +an+1

Из равенства $An+1 = An +(an+1 − Bn )(an+1+ Bn)+B2n$ следует, что $An+1$ делится на $Bn+1,$ если $An+ B2n$ делится на $Bn+1,$ поскольку $an+1+ Bn =Bn+1.$

Таким образом, достаточно взять

2 an+1 = An +Bn − Bn

(в этом случае $An+ B2n =Bn+1).$ Осталось показать, что тогда $an+1 >an.$ Но так как $B2n − Bn > 0(1< a1 < a2 < ...< an),$ то $an+1 > An ≥a2n >an.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#79759Максимум баллов за задание: 7

Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что число $a+-1+ b+-1 b a$ является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ не превосходит числа $√ ---- a+b.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Чтобы с суммой дробей было проще работать, её однозначно стоит преобразовать в дробь.

Подсказка 2:

Пусть НОД a и b равен d. В какой степени он входит в знаменатель дроби? Что можно сказать про числитель или его отдельные слагаемые?

Показать доказательство

Имеем:

a+-1 b+-1 a2+-b2+a-+b b + a = ab

Пусть $d$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b.$ Так как $ab$ делится на $2 d ,$ то $2 2 a + b+ a+ b$ делится на $2 d.$ Число $2 2 a +b$ также делится на $2 d .$ Поэтому $a+b$ делится на $2 d$ и $√---- a +b≥ d.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#102553Максимум баллов за задание: 7

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от $1$ до $1993.$ Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число $k,$ то первые $k$ чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число $1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что наше доказательство не будет использовать число 1993 ;) поэтому попробуйте доказать требуемое при помощи индукции по количеству чисел!

Подсказка 2

База очевидна, а вот для шага нам нужно зацепиться за что-то неизменяемое, чтобы одна из карт "не мешала" двигаться остальным.

Подсказка 3

Докажите, что когда-то число n или некоторое другое попадёт в конец и никогда оттуда не убежит ;)

Показать доказательство

Индукцией по $n$ докажем это утверждение для строки, в которую записаны числа от 1 до $n$ .

База. При $n= 1$ на первом месте уже стоит число 1.

Шаг индукции. Если в результате применения описанных операций к строке из $n$ чисел число $n$ окажется на последнем месте, то к первым $n − 1$ числам можно применить предположение индукции, так как число $n$ уже никуда не переместится.

Если же число $n$ никогда не окажется на последнем месте, то оно не окажется и на первом месте. Значит, число, находящееся на последнем месте, никуда не перемещается. Поэтому, поменяв местами число $n$ и число, стоящее на последнем месте, мы никак не изменим происходящего. Но теперь к первым $n− 1$ числам можно применить предположение индукции.

Следующая подтема