Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 11 класс → .01 Закл 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 11 класс

Закл 2025

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#127158

Дано натуральное число $n.$ Натуральные числа $1,2,...,n$ выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех $n − 1$ выписанных на листке чисел?

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 10.5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Оценка. Предположим, что какое-то из выписанных на листке чисел больше $⌊n∕2⌋,$ скажем, $НО Д(a,b)= d> ⌊n∕2⌋.$ Тогда наибольшее из чисел $a,b$ не меньше $2d,$ что больше $n$ – противоречие (НОД двух чисел, не превосходящих $n,$ не превосходит $n$ ). Значит, каждый из написанных $Н ОД$ ов не превосходит $⌊n∕2⌋,$ потому количество различных $Н ОД$ ов не может превышать $⌊n∕2⌋.$

Пример. Разобьём все числа от $1$ до $n$ на цепочки вида $k a,2a,4a,8a,...,2a,$ где $a$ — нечётное число, не превосходящее $n.$ Выпишем в строчку цепочки одну за другой. Тогда для любого натурального $d≤ ⌊n∕2⌋$ найдётся цепочка, в которой встречается $d,$ а следующее за $d$ число будет $2d.$ Видим, что каждое натуральное $d≤⌊n∕2⌋$ будет выписано на листке.

Ответ:

$⌊n⌋ 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127162

На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа $a$ и $b,$ записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство

2 2 a + b +1= 2ab.

Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что можно выбрать такие два числа $c$ и $d,$ записанных на доске, что

2 2 c +d + 2025 =2cd.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127163

Дана прямая призма $ABCA B C . 1 1 1$ Известно, что треугольники $A BC, 1$ $AB C, 1$ $ABC 1$ и $ABC$ — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ лежат на одной сфере.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.2 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127164

Пару многочленов $F(x,y)$ и $G(x,y)$ с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей

F(a,b)− F (c,d) и G (a,b)− G(c,d),

где $a,b,c,d$ — целые, следует, что числа $a− c$ и $b− d$ делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов $P(x,y)$ и $Q (x,y),$ что пара многочленов $P(x,y)− xy$ и $Q(x,y)+ xy$ тоже является важной?

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127165

Дано натуральное число $N.$ Куб со стороной $2N +1$ сложен из $(2N + 1)3$ единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб $2× 2× 2,$ не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков могло быть использовано?

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.4 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

$(N +1)2(4N +1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#128217

По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по $1010$ ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждый своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Докажите, что Вася сможет действовать так, чтобы после каждого его хода среди 100 выписанных чисел было не менее пяти положительных, как бы ни играл Петя.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Решение скрыто

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#128221

Четырёхугольник $ABCD,$ в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность $Ω.$ В треугольники $DAB,$ $ABC,$ $BCD,$ $CDA$ вписаны окружности $ωa,$ $ωb,$ $ωc,$ $ωd$ соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям $ωa$ и $ωb,$ $ωb$ и $ωc,$ $ωc$ и $ωd,$ $ωd$ и $ωa,$ не содержащие сторон четырёхугольника $ABCD.$ Четырёхугольник, последовательные стороны которого лежат на четырёх проведённых прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность $Γ .$ Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей $ωa$ и $ωc,$ $ωb$ и $ωd,$ $Ω$ и $Γ ,$ пересекаются в одной точке.

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Решение скрыто

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#128226

Пусть $f :ℝ→ ℝ$ — непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции $f.$ Известно, что у графика функции $f$ ровно $N$ хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение $N.$

Источники: ВСОШ, ЗЭ, 2025, 11.8 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

4049