19.02 Задачи №19 из сборника И.В. Ященко

а) Покажем, как переместить ровно три камня из первой коробки в третью:

За 3 раза такими операциями мы можем переместить 9 камней из первой коробки в третью.

б) Рассмотрим разность чисел камней в третьей и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, в третьей камней. Тогда разность равна

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3. Тогда если в третьей коробке после некоторых операций могли оказаться все камней, то в конце разность должна быть равна

Изначально разность была равна значит, она изменилась на Однако 323 не делится на 3, значит, в третьей коробке не могли оказаться 211 камней.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.

Тогда посмотрим на изначальную разность между первой и второй коробками. Она равна По условию во второй коробке оказались 4 камня.

Найдем наименьшее количество камней, которое могло оказаться в первой коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем:

Тогда в третьей коробке может быть не более камней.

Покажем, как можно добиться 205 камней ровно. Сначала научимся перемещать по 3 камня в третью коробку из каждой другой:

Заметим, что для того, чтобы можно было проделать такие операции, в первых двух коробках должно быть хотя бы 5 и 3 камней соответственно. Тогда мы можем делать такие операции, пока не дойдем до ситуации

Теперь будем перекладывать по 3 камня из первой коробки в третью:

Окончательно имеем:

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью:

Сделаем эту операцию трижды, получим ситуацию Заметим, что в первых двух коробках поровну камней, то есть мы можем брать по одному камню из первых двух коробок и класть в третью, пока камни не кончатся, так получится, что в третьей коробке будет камней.

б) Рассмотрим разность чисел камней во второй и первой коробках. Пусть в первой сейчас камней, во второй камней. Тогда разность равна

Если мы переложим два камня в первую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня во вторую коробку, то разность будет равна

Если мы переложим два камня в третью коробку, то разность будет равна

Мы получили, что после любой операции разность либо изменяется на 3, либо остается прежней, то есть после любых операций разность должна измениться на число, кратное 3.

Изначально разность камней во второй и первой коробках равна в конце должна стать Таким образом, разность изменилась на но 59 не делится на 3, то есть требуемая ситуация невозможна.

в) Аналогично предыдущему пункту мы можем доказать, что разность между любыми двумя коробками может измениться только на число, кратное 3.

Тогда посмотрим на изначальную разность между второй и первой коробками. Она равна По условию во второй коробке оказалось 2 камня.

Найдем наименьшее количество камней, которое могло оказаться в первой коробке. Так как разность изменяется на число, кратное 3, то имеем:

Тогда в третьей коробке может быть не более камней.

Для того, чтобы добиться 195 камней ровно, будем действовать как в пункте а), но не будем делать 2 последних действия: таким образом, в первой и второй коробках останется по 2 камня, а в третьей окажется ровно 195 камней.

а) Пусть первый член последовательности равен второй в 7 раз больше первого, то есть равен третий в 7 раз больше второго, то есть равен По условию сумма всех членов последовательности равна 9177, то есть

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

б) Пусть первый член последовательности равен второй — третий — четвёртый — пятый — По условию имеем:

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

в) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре — первое и второе число, во второй паре — третье и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Так как числа натуральные, то Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше чем

Так как сумма всех чисел равна 9177, то пар не больше чем

Тогда всего чисел в последовательности не больше чем

Приведём пример на 2295 чисел. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 1, каждый чётный член последовательности равен 7:

Тогда сумма всех чисел равна

а) Пусть первый член последовательности равен второй в 8 раз больше первого, то есть равен третий в 8 раз меньше второго, то есть равен По условию сумма всех членов последовательности равна 4040, то есть

Рассмотрим последовательность, состоящую из чисел

Тогда эта последовательность удовлетворяет условию.

б) Рассмотрим пару соседних чисел и . Пусть , не умаляя общности (иначе можно поменять им имена). Тогда, если , то . . Таким образом, сумма соседних чисел кратна 9. В последовательности из 4 чисел 2 непересекающиеся пары, сумма чисел внутри которых кратна 9. Тогда и вся сумма этих чисел кратна 9. Но на 9 не делится.

Тогда такое невозможно

в) В пункте б) было доказано, что сумма соседних чисел кратна 9. Тогда сумма двух соседних чисел не менее 9, так как они оба натуральные. Тогда пар чисел точно не более, чем . Так как количество пар - целое число, то их не более 448. То есть чисел не более, чем .

Давайте рассмотрим такой пример: первое число равняется 8, второе 1, третье вновь 8 и так далее. Всего 897 чисел. То есть последовательность имеет вид:

Всего в последовательности 448 единиц и 449 восьмерок. Сумма всех этих чисел равняется

То есть наибольшее количество чисел в последовательности равняется 897.

Пусть масса детали нового типа равна кг. Тогда масса детали старого типа равна кг. Пусть из 64 кг можно сделать деталей старого типа. По условию из 63 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть Тогда из условия где получаем:

Так и то

Значит,

Так как и — массы деталей, то а значит,

Тогда необходимо решить систему

Но соответственно,

а) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. На изготовление 15 деталей 63 кг хватит, на изготовление 16 деталей — нет. Значит,

Таким образом, Значит, такого не может быть.

б) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. Аналогично пункту а:

Таким образом, Значит, такого не может быть.

в) Пусть — число новых деталей массой кг, которое фабрика может выпустить из 80 кг материала. Тогда

Так как фабрика не может выпустить деталь из 80 кг материала, то не существует такого что

По доказанному ранее Значит,

Таким образом, так как — натуральное число. Заметим, что должно найтись такое что

— количество деталей старого типа, которое можно сделать из 64 кг материала. Из 63 кг материала можно сделать деталь нового типа. По доказанному ранее должно выполняться:

Значит, между числами и должно быть два натуральных числа: и

Оценим

Оценим

Получаем

Тогда между числами и нет двух натуральных чисел. Поэтому получить нельзя.

Приведём пример на Заметим, что не существует такого что по доказанному ранее. Осталось показать, что существует такое, что, во-первых во-вторых, найдется такое что из 64 кг можно будет сделать деталей старого типа и из 63 кг можно будет сделать детали нового типа:

Возьмём Тогда

При этом Значит, наименьшее возможное равно 27.

Пусть масса детали нового типа равна кг. Тогда масса детали старого типа равна кг. Пусть из 21 кг можно сделать деталей старого типа. По условию из 18 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть Тогда из условия где получаем:

Так и то

Значит,

Так как и — массы деталей, то а значит,

Тогда необходимо решить систему

Но соответственно,

а) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. На изготовление 50 деталей 18 кг хватит, на изготовление 51 деталей — нет. Значит,

Таким образом, Значит, такого не может быть.

б) Пусть такое возможно и масса новой детали кг. Аналогично пункту а:

Таким образом, Значит, такого не может быть.

в) Пусть — число новых деталей массой кг, которое фабрика может выпустить из 10 кг материала. Тогда

По доказанному ранее Значит,

То есть возможные значения 20, 21, 22, 23, 24 поскольку — натуральное число

Других ограничений на количество деталей не накладывается. Причем перечисленные выше значения допустимы, ведь для каждого из них пересечение множеств

не пусто, что было проверено выше.

Пусть дано трёхзначное число Сумма цифр такого трёхзначного числа равна По условию

а)

Пусть Тогда

б)

Так как — чётное число, — чётное число, то — тоже чётное. Значит, делится на 2. Если то Значит,

Но — число от 0 до 9. Значит, Тогда делится на 19, значит тоже делится на 19. Числа 14 и 19 взаимно просты, поэтому делится на 19. Но так как то Противоречие.

в) Оценим сверху.

Так как то Тогда

Так как то Тогда

Так как то Тогда

— натуральное, поэтому

1.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

2.

Если то

Если то так как то Тогда Противоречие. Значит, При этом если то Тогда Противоречие. Тогда Найдём

Но должно быть целым числом. Противоречие.

3.

Если то

Так как и делятся на 10, то делится на 10. Тогда делится 10. Все цифры ненулевые, поэтому Противоречие.

4.

Если то

Пусть Тогда

Пусть дано трёхзначное число Сумма цифр такого трёхзначного числа равна По условию

а)

Пусть Тогда

б)

Так как — чётное число, — чётное число, то — тоже чётное. Значит, делится на 2. Если то Значит,

Но — число от 1 до 6. Поскольку по условию. Значит, Тогда делится на 17, значит тоже делится на 17. Числа 22 и 17 взаимно просты, поэтому делится на 17. Но так как то Противоречие.

в) Оценим сверху.

Так как то Тогда

Так как то Тогда

Так как то Тогда

— натуральное, поэтому

1.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

2.

Если то

Если то так как то Тогда Противоречие. Значит, При этом если то Тогда Противоречие. Тогда Найдём

Но должно быть целым числом. Противоречие.

3.

Если то

Так как и делятся на 10, то делится на 10. Тогда делится 10. Все цифры ненулевые, поэтому Противоречие.

4.

Если то

Так как все цифры ненулевые, , тогда Но тогда Противоречие, так как

5.

по пункту б)

6.

Если то

Если то так как то Тогда Противоречие. Значит, При этом если то Тогда Противоречие. Тогда Найдём

Но должно быть целым числом. Противоречие.

7.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

8.

Если то

Так как и делятся на 5, то делится на 5. Тогда делится 5. Все цифры ненулевые, поэтому Но тогда, поскольку Противоречие

9.

Если то

Так как — чётные числа, то — тоже чётное число. Значит, делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому Так как то Тогда Противоречие.

10.

Если то

Пусть Тогда

а) Покажем, как переместить ровно три камня из первой коробки в третью:

Ясно, что аналогичным образом можно переместить ровно три камня из второй коробки в третью.

Давайте 11 раз переложим 3 камня из первой коробки в третью и 11 раз переложим 3 камня из второй коробки в третью. Получим следующую ситуацию:

Теперь давайте переложим 6 раз по два камня из первой и третьей коробок во вторую. Тогда во второй коробке станет на 12 камней больше, а в первой и третьей на 6 камней меньше. Итого получим: Что и требовалось.

б) Рассмотрим разность камней в первой и второй коробках при различных действиях. Их всего два вида:

1.

Если из обеих коробок переложить по камню в третью, разность количества камней между коробками не изменится.

2.

Если из первой и третьей коробки переложить по камню во вторую коробку, то в первой коробке камней станет на 1 меньше, а во второй — на 2 больше. То есть разность изменится на 3. Аналогично произойдет в случае, если камни перекладываются из второй и третьей коробок в первую.

Тогда разность количества камней в первой и второй коробках всегда изменяется на число, кратное трем. Но изначально в первой коробке на 17 камней больше, чем во второй. А так как разность камней в коробках не может изменить свой остаток при делении на 3, то в 0 она превратиться не может.

в) Аналогично пункту б) остаток от деления разности количества камней в первой и третьей коробке не может измениться ни при какой операции, а изначально он равен остатку от деления 97 на 3, то есть 1, то суммарное количество камней в перой и третьей куче после всех операций не меньше 1, то есть суммарное количество камней во второй куче не менее 176. Покажем, как получить это число:

Для начала переложим 16 раз по 3 камня из первой коробки в третью. Получим ситуацию А теперь 48 раз переложим по камню из первой и третьей коробки во вторую. Получим необходимую ситуацию:

а) Переберём все варианты.

1.

Пусть первое число второе в 7 раз больше, чем первое, то есть третье число в 7 раз больше второго, то есть равно Тогда

Число не целое, поэтому такой вариант не подходит.

2.

Пусть первое число второе в 7 раз больше первого, то есть а третье в 7 раз меньше второго, то есть Тогда

Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.

3.

Пусть первое число второе число в 7 раз меньше, то есть равно а третье в 7 раз больше, чем второе, то есть равно Тогда

Так как число не целое, то данный вариант тоже не подходит.

4.

Пусть первое число второе в 7 раз меньше, чем первое, то есть третье число в 7 раз меньше второго, то есть равно Тогда

Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.

Таким образом, сумма трёх чисел не может быть равна 7735.

б) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре первое и второе число, во второй паре третьей и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Тогда в каждой паре сумма чисел делится на 8. Так как пар — целое число, то сумма всех чисел последовательности делится на 8. Но не делится на 8. Значит, последовательность не может состоять из 6 чисел.

в) Разобьём все числа на пары соседних так же, как в пункте б. Пусть меньшее число в паре равно Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно Сумма чисел в паре равна Так как числа натуральные, то Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше, чем Так как сумма всех чисел равна 7735, то пар не больше, чем Тогда всего чисел в последовательности не больше, чем

Приведём пример на 1933 числа. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 7, каждый чётный член последовательности равен 1, то есть последовательности выглядит как 7, 1, 7, 1, …, 7. Тогда сумма всех чисел равна

а) Пусть первое число равняется 2009. Тогда второе число равняется 11, а третье равняется 2. В сумме получим

б) По признаку равноостаточности на 3 мы знаем, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, что и само число. Значит, второе число имеет такой же остаток при делении на 3, что и первое. Аналогично третье число имеет такой же остаток при делении на 3, что и второе. Таким образом, все три числа имеют один и тот же остаток при делении на 3.

Сумма трех чисел с одинаковыми остатками при делении на 3 кратна 3. Но 2021 на 3 не делится, то есть такое невозможно.

в) По признаку равноостаточности на 9 мы знаем, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, что и само число. Заметим, что второе число не больше 27, так как сумма цифр трехзначного числа не превышает

Но тогда для того, чтобы третье число равнялось 2, достаточно лишь того, что второе число дает остаток 2 при делении на 9, поскольку сумма цифр любого числа от 1 до 27 строго меньше 11. Таким образом, если второе число, а значит и первое число, дают остаток 2 при делении на 9, то третье число однозначно равняется 2. Причем если первое число не дает остаток 2 при делении на 9, третье число не может равняться двум.

Значит, ответом на поставленный вопрос будет количество трехзначных чисел, дающих остаток 2 при делении на 9, но сумма цифр которых не равна двум, так как все три числа должны быть различными. Среди 900 подряд идущих чисел, дающих остаток 2 при делении на 9, всего

Но так же необходимо учесть числа с суммой цифр 2 - их всего 3: 101, 110, 200.

Итого 97 чисел.

а) Пусть первое число равно 3441. Тогда второе число равно Значит, третье число равно При этом

б) Целое число при делении на 3 дает такой же остаток, как и сумма его цифр.

Тогда если первое число при делении на 3 давало остаток то второе число, равное сумме цифр первого, дает такой же остаток при делении на 3, то есть тоже Значит, сумма цифр второго числа, тогда и третье число, тоже дает остаток при делении на 3. Тогда сумма трёх чисел при делении на 3 дает остаток то есть делится на 3. Так как число 2345 не делится на 3, то сумма трех чисел не может быть равна 2345.

в) Так как первое число — трёхзначное, то сумма его цифр не больше, чем Тогда второе число не больше, чем 27. Третье число равно сумме цифр второго числа, и равно 5. Среди чисел от 1 до 27 с суммой цифр 5 — только Значит, второе число равно либо 5, либо 14, либо 23. По условию все числа различные, поэтому второе число равно либо 14, либо 23. Разберём каждый случай.

Если второе число равно 14, значит, сумма цифр первого трёхзначного числа равна 14. Найдём количество таких чисел.

1.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 1, 6 штук: 149, 158, 167, 176, 185, 194.

2.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 2, 7 штук: 239, 248, 257, 266, 275, 284, 293.

3.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 3, 8 штук: 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383, 392.

4.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 4, 9 штук: 419, 428, 437, 446, 455, 464, 473, 482, 491.

5.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 5, 10 штук: 509, 518, 527, 536, 545, 554, 563, 572, 581, 590.

6.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 6, 9 штук: 608, 617, 626, 635, 644, 653, 662, 671, 680.

7.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 7, 8 штук: 707, 716, 725, 734, 743, 752, 761, 770.

8.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 8, 7 штук: 806, 815, 824, 833, 842, 851, 860.

9.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 14, начинающихся на 9, 6 штук: 905, 914, 923, 932, 941, 950.

Таким образом, трёхзначных чисел с суммой цифр 14:

Если второе число равно 23, значит, сумма цифр первого трёхзначного числа равна 23. Найдём количество таких чисел. Каждая из цифр не больше 9, значит, сумма двух последних двух цифр не больше, чем Значит, первая цифра не меньше, чем

1.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 5, одно: 599.

2.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 6, два: 689, 698.

3.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 7, три: 779, 788, 797.

4.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 8, четыре: 869, 878, 887, 896.

5.

Трёхзначных чисел с суммой цифр 23, начинающихся на 9, пять: 959, 968, 977, 986, 995.

Таким образом, трёхзначных чисел с суммой цифр 23:

Значит, всего чисел, удовлетворяющих условию:

а) Пусть

Тогда

б) Так как дробь несократимая, то делится на 240.

Пусть среди чисел нет 16. Тогда, чтобы получить число, делящееся на 16, нужно перемножить 2, 4 и 6. Но не делится на 5. Значит, один из знаменателей равен 16.

Так как делится на 5, то одно из чисел — это 5.

делится на 3, поэтому оставшееся число — это либо 3, либо 6. Значит, знаменатели дробей — это либо 3, 5, 16, либо 6, 5, 16.

Оценим сумму дробей в первом случае. Среди оставшихся чисел самое большое равно 6. Значит, числитель каждой дроби не больше 6. Тогда

Значит, этот случай не возможен.

Рассмотрим второй случай. Среди оставшихся чисел самое большое число равно 4. Значит, числитель каждой дроби не больше 4. Тогда

Значит, сумма дробей не может быть равна

в) Пусть среди знаменателей дробей, которые дают минимальную сумму, нет числа 16. Тогда 16 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Значит,

Тогда предположение, что среди знаменателей дробей, дающих минимальную сумму, нет числа 16, неверно.

Аналогично если среди оставшихся знаменателей нет 6, то 6 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Тогда замена дроби на сумму уменьшит.

Самое большое из оставшихся чисел — это 5. Аналогично замена на уменьшает сумму.

Значит, числа — это числа 2, 3, 4 в каком-то порядке. Всего 6 различных перестановок. Посчитаем сумму в каждом случае и найдём минимальную сумму.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

Таким образом, наименьшая сумма равна

а) Пусть

Тогда

б) Так как дробь несократимая, то делится на 336.

Пусть среди чисел нет 16. Тогда, чтобы получить число, делящееся на 16, нужно перемножить 2, 4 и 6. Но не делится на 7. Значит, один из знаменателей равен 16.

Так как делится на 7, то одно из чисел — это 7.

делится на 3, поэтому оставшееся число — это либо 3, либо 6. Значит, знаменатели дробей — это либо 3, 7, 16, либо 6, 7, 16.

Оценим сумму дробей в первом случае. Среди оставшихся чисел самое большое равно 6. Значит, числитель каждой дроби не больше 6. Тогда

Значит, этот случай не возможен.

Рассмотрим второй случай. Среди оставшихся чисел самое большое число равно 4. Значит, числитель каждой дроби не больше 4. Тогда

Значит, сумма дробей не может быть равна

в) Пусть среди числителей дробей, которые дают максимальную сумму, нет числа 16. Тогда 16 — знаменатель какой-то дроби. Пусть это дробь Так как то Значит,

Тогда предположение, что среди числителей дробей, дающих максимальную сумму, нет числа 16, неверно.

Аналогично если среди оставшихся числителей нет 7, то 7 — знаменатель какой-то дроби. Пусть это дробь Если то Тогда замена дроби на сумму увеличит.

Также возможен случай наличия дроби в котором данная логика не работает. Но тогда у двух других дробей числители меньше 7. Но тогда можно поменять местами 7 и числитель одной из дробей — эта дробь увеличится, так как у нее увеличится числитель, а вместо дроби будет написана дробь с меньшим значением знаменателя. То есть обе дроби увеличатся, что увеличит значение всей суммы.

Самое большое из оставшихся чисел — это 6. Аналогично замена на увеличит сумму. Либо же в случае, когда число 6 находится в знаметеле дроби с числителем 16 или 7, можно поменять знаменатель этой дроби с числителем той дроби, у которой он меньше 6. Такая дробь обязательно найдется, так как чисел, больших 6, только два.

Значит, числа — это числа 2, 3, 4 в каком-то порядке. Всего 6 различных перестановок. Посчитаем сумму в каждом случае и найдём максимальную сумму.

Также докажем, что для дробей со знаменателями и числителями , где наибольшая сумма равна Давайте докажем это, посчитав разность:

Так как то разность Причем Для положительных дробей с одинаковыми ненулевыми числителями верно, что большее значение имеет дробь с меньшим значением знаменателя. Так как то можно утверждать, что То есть Тогда действительно

Тогда наибольшее значение будет установлено, если наименьшим знаменателям сопоставить наибольшие числители. То есть максимальная сумма равняется

а) Цифры и исходного числа должны удовлетворять следующему условию:

Осталось подобрать какие-нибудь цифры и которые удовлетворяют равенству. Для простоты возьмем тогда подойдут что даст нам исходное число 102. И действительно,

б) Используем подход, аналогичный пункту а). Цифры и должны удовлетворять следующему условию:

Заметим, что Так как делится на 2 и делится на 2, тоже делится на 2. Если то Тогда . Если то тогда

Но должно быть целым числом. Противоречие

в) Давайте поймем, что можно получить отношение 26:

Докажем, что целое отношение, меньшее 26, мы получить не сможем. Сравним и 26:

Заметим, что если то

Таким образом, если то искомое отношение всегда больше 26.

Переберем случаи:

1.

Если Тогда Но тогда делится на 16. Но тогда делится на 16, ведь должно делиться на 16, а 400 кратно 16. Тогда (перебором по сумме легко убедиться в том, что другие числа на 16 не делятся). Но

2.

Если Тогда То есть делится на 17. Причем так как Числа, кратные 17, с первой цифрой 4, а второй не менее 4: 442, 459, 476, 493. Сумму имеет ровно одно число — 476. Но

3.

Если Тогда То есть делится на 18. Причем так как Числа, кратные 18, с первой цифрой 4, а второй не менее 5: 450, 468, 486. Сумму имеет ровно два — 468 и 486. Проверим наименьшее:

То есть 486 уже будет иметь большее отношение, а 468 — число из примера

4.

Если Тогда То есть делится на 19. Причем так как Числа, кратные 19, с первой цифрой 4, а второй не менее 6: 475, 494. Сумму эти числа не имеют.

5.

Если Тогда Тогда кратно 20. Но тогда Но тогда невозможно, что ведь

6.

Если Тогда То есть делится на 21. Причем так как Числа, кратные 21, с первой цифрой 4, а второй не менее 8: 483. Но здесь

7.

Если Тогда Но — число не целое, так как 499 нечетно, а 22 четно.

Значения невозможны, так как Тогда искомое отношение не ниже 26, а на 26 пример есть.

а) Цифры и исходного числа должны удовлетворять следующему условию:

Осталось подобрать какие-нибудь цифры и которые удовлетворяют равенству. Для простоты возьмем тогда подойдут что даст нам исходное число 198. И действительно,

б) Используем подход, аналогичный пункту а). Цифры и должны удовлетворять следующему условию:

Посмотрим на полученное равенство. Число трехзначное, значит, следовательно, слагаемое Слагаемое неотрицательно, то есть Оценим

Значит,

Значит, равенство не может быть верно ни при каких цифрах и

в) Нам нужно максимизировать отношение

при условии, что и не могут быть одновременно равны нулю, иначе число делится на 100.

Заметим, что при и мы можем получить отношение, равное 80:

Докажем, что целое отношение, больше 80, мы получить не сможем. Сравним и 80:

Заметим, что если то

Таким образом, если то искомое отношение всегда меньше 80.

Если то есть три варианта, при этом вариант, когда и является нашим примером. Разберем вариант и

Разберем вариант и

Если то есть два варианта. Разберем вариант и

Разберем вариант и

При этом так как иначе 700 делится на 100.

Значит, наибольшее целое отношение равно 80 и достигается при для числа 720.

а)

Значит, такого не существует.

б)

Пусть Тогда Проверим, что подойдёт:

в) Пусть натуральное число при делении на 2, 3, 8, 23 даёт остатки и соответственно. Тогда — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 2, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 3, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 8, — наибольшее целое число, не превосходящее которое делится на 23. Значит,

По условию

Остаток может принимать два значения (0 или 1), остаток может принимать три значения (от 0 до 2), остаток — 8 значений (от 0 до 7), остаток — 23 значения (от 0 до 22). Заметим, что если мы знаем остаток при делении на 8, то есть то остаток при делении на 2, то есть однозначно определяется. Покажем это. Пусть Если — чётное, то число тоже чётное, а значит, Если нечётное, то тоже нечётное, а значит,

Таким образом, выражение а, следовательно, и число может принимать не более, чем значения (3 варианта для 8 вариантов для 23 варианта для ).

Покажем, что каждый из 552 вариантов можно получить.

Так как выражение делится на 23, то имеет остаток при делении на 23.

Покажем, что число делится на 8, то есть число делится на 2. Если — нечётное число, то есть 1, 3, 5 или 7, то Тогда делится на 2. Если — чётное число, то есть 0, 2, 4 или 6, то Тогда делистя на 2. Значит, делится на 8. Тогда выражение тоже делится на 8. Значит, число имеет остаток при делении на 8. Если — нечётное, то нечётное и Если — чётное, то чётное и Тогда при делении на 2 имеет остаток

Наконец,

Так как выражение делится на 3, то число при делении на 3 имеет остаток

Таким образом, каждый из 552 различных вариантов однозначно определяет Таким образом, всего 552 различных

а) Пусть всего положительных чисел, отрицательных и чисел, равных 0. Так как среднее арифметическое положительных чисел равно 14, то сумма положительных чисел равна Среднее арифметическое отрицательных чисел равно поэтому сумма отрицательных чисел равна По условию среднее арифметическое всех чисел равно 5, а значит, сумма всех чисел равна Тогда

делится на 7, поэтому тоже делится на 7. 5 и 7 — взаимно просты, поэтому делится на 7. Тогда количество всех чисел делится на 7. Среди чисел, больших 35, но меньших 49 только одно число делится на 7 — 42. Значит, на доске написано 42 числа.

б) Из пункта а:

Так как а (среднее арифметическое отрицательных чисел равно а значит, отрицательных чисел не может быть 0), то а значит, Тогда то есть положительных чисел больше, чем отрицательных.

в) Из пункта а тогда

Так как всего чисел 42, то положительных и отрицательных не больше, чем 42, то есть

Значит, положительных чисел не больше, чем 24. Приведём пример на 24. Пусть на доске было написано 24 числа 14 и 18 чисел Среднее арифметическое положительных чисел равно 14, среднее арифметическое отрицательных чисел равно Найдём среднее арифметическое всех чисел:

а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна

б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна а количество чисел равно сумма всех чисел во второй группе до изменений — а количество сумма всех чисел в третьей группе — Если к числу приписать справа цифру , то оно станет равным Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала в третьей группе осталась Тогда

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому Так как то Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим отношение получившейся суммы к изначальной:

Будем максимизировать то есть максимизировать значение дроби Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть от этого не изменится. В первой группе станет число, во второй а дробь станет равной

Таким образом, значение увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение Значит, если — максимальное, то в первой группе одно число.

Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна Тогда следовательно, Количество чисел во второй группе станет а значит, новое значение дроби будет

Таким образом, если максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе чисел ( — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего числа.

Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение Значит, нужно минимизировать значение — сумму различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых натуральных чисел. Значит,

Так как то

Пусть Найдём, при каком значении принимает наибольшее значение. Так как — количество чисел, то будем рассматривать только при натуральных Рассмотрим разность

Значит, при при при Значит, наибольшее значение будет при

Найдём значение при

При функция убывает, значит, если то По условию значит, а всего чисел не больше, чем Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна

а) Пусть у Миши двухрублёвых, пятирублёвых, десятирублёвых монет. Так как среди любых 10 монет обязательно найдётся двухрублёвая, то пятирублёвых и десятирублёвых в сумме меньше чем 10. Действительно, иначе можно было бы взять 10 пятирублёвых и десятирублёвых монет и среди них не нашлось бы двухрублёвой монеты. То есть Аналогично

Тогда получаем систему

Таким образом, всего не больше 21 монеты. Значит, у Миши не могло быть 30 монет.

б) В пункте а) получили, что монет не больше чем 21. Приведём пример, в котором монет ровно 21. Нужно, чтобы в каждом неравенстве системы из пункта а) достигалось равенство. Иначе если какое-то из трёх неравенств строгое, то при сложении этих неравенств также получится строгое неравенство и монет в сумме будет меньше 21. Тогда получаем систему

в) По условию если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна десятирублёвая. Значит, монет хотя бы 20. При этом из пункта б) монет не больше чем 21. Так как то имеем единственный вариант, в котором 21 монета:

При этом равенство достигается только в случае, если в каждом из неравенств имеет место равенство. Посчитаем сумму рублей в этом случае:

Рассмотрим случай, когда монет 20, то есть Хотим найти максимальное значение Тогда имеем:

Чтобы максимизировать значение выражения нужно минимизировать значение выражения Тогда имеем:

Отсюда получаем

Значит, минимальное значение выражения равно 118. Тогда максимальное значение выражения равно

Приведём пример, в котором у Миши 82 рубля. Пусть двухрублёвых монет было 11, пятирублёвых 6, тогда десятирублёвых было 3. Посчитаем сумму:

Тогда наибольшая сумма рублей получается из 20 монет и равна 82.