.03 Инварианты кривых второго порядка

На квадратичную часть сдвиг не влияет, поэтому матрица квадратичной части в новой системе координат будет равна где - ортогональная матрица Поэтому характеристический многочлен матрицы в новой системе координат имеет вид:

Почему это верно? Потому что если матрица - ортогональная, то поскольку если умножить на то на ом месте будет стоять скалярное произведение го и го базисного вектора после применения матрицы Но раз - ортогональна, то она не меняет скалярных произведений. А поскольку в стандартном базисе

То и после

А это в точности и означает, что Таким образом, мы просто заменили на в записи характеристического многочлена. Итак, продолжим:

Мы воспользовались тем, что определитель произведения равен произведению определителей. Далее, как обычно, Более того, так как - ортогональна, то значит Поэтому мы имеем, что

То есть характеристический многочлен в новой системе координат вообще не изменился. Значит, и все его коэффициенты остались постоянными. Как следствие - след и определитель не меняются при ортогональных заменах координат.