По таблице
1. $δ > 0$ , $S Δ < 0$ , то это эллипс;
2. $δ > 0$ , $S Δ > 0$ , то это мнимый эллипс;
3. $δ > 0$ , $Δ = 0$ , то это пара мнимых пересекающихся прямых;
4. $δ < 0$ , $Δ ⁄= 0$ , то это гипербола;
5. $δ < 0$ , $Δ = 0$ , то это пара пересекающихся прямых;
6. $δ = 0$ , $Δ ⁄= 0$ , то это парабола;

Видим, что это гипербола.

Далее, в каноническом виде матрица её квадратичной части, разумеется, имеет вид

( ) a11 0 Q = 0 a22

Тогда, раз след $Q$ является инвариантом, то видим, что

a11 + a22 = 0

В то же время, раз определитель $Q$ является инвариантом, то видим, что

a11 ⋅a22 = − 25

Откуда легко находим, что $a11 = 5$ , $a22 = − 5$ (или наоборот, что не играет роли).

Далее, в каноническом уравнении гипербола матрица $A$ имеет вид

( ) 5 0 0 || || A = ( 0 − 5 0 ) 0 0 м инус своб од ный член

Поскольку $detA$ - это тоже инвариант, то получаем, что

detA = 25⋅ свободны й член = 125

и видим, что свободный член равен 5.

Таким образом, это гипербола

5x2 − 5y2 = 5

Или

x2 − y2 = 1

03 Инварианты кривых второго порядка