.03 Инварианты кривых второго порядка

Докажем для . Для доказательство будет аналогичным.

Полезно задать себе вопрос, а как вообще меняется матрица при замене координат?

если делать замену

, то матрица изменяется следующим образом. Если - матрица в новой системе координат, то

Действительно, если подставить новые координаты в многочлен , то, если раньше он задавался расширенной матрицей :

То теперь, поскольку , то будем иметь:

Следовательно, новая расширенная матрица многочлена есть не что иное, как . Совершенно аналогично проверяется и то что новая матрица квадратичной части есть .

Далее,

И что же делать дальше? Как показать, что всё это, что стоит в правой части, равно просто-напросто ?

Заметим, во-первых, что (раскладываем определитель по последней строке),
то есть определитель у матрицы такой же, как у матрицы перехода .

Далее, вспомним, что мы-то рассматриваем только ортонормированные замены координат. То есть матрица является матрицей перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному. Следовательно, по её столбцам стоят координаты двух векторов длины 1, которые взаимно ортогональны. Поэтому , если вспомнить, что модуль определителя есть не что иное, как площадь параллелограмма, натянутого на векторы-столбцы. А в данном случае этот параллелограмм, в силу ортонормированности, есть просто квадрат со стороной 1.

Следовательно, , а значит

(в правой части либо произведение двух единиц, либо произведение двух минус единиц).

Абсолютно аналогично показывается, что .