Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Стереометрия на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94266

У Пети скопилось много кусочков пластилина трех цветов, и он плотно заполнил пластилином полый куб со стороной 5 см, так что в кубе не осталось свободного места. Докажите, что внутри куба найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 см друг от друга.

Источники: БИБН - 2021, 11.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Казалось бы, из условия мы почти ничего не знаем, но нам известно количество цветов, а то, что нас просят доказать, намекает на принцип Дирихле. Подумайте, как его здесь применить.

Показать доказательство

В кубе $ABCDA B C D 1 1 1 1$ рассмотрим 4 вершины $A,C,B ,D 1 1$ . Они являются вершинами правильного тетраэдра со стороной $a√2$ , где $a =5$ — ребро куба. Поскольку $√- 5 2> 7$ , рассмотрим подобный тетраэдр с коэффициентом подобия $-7√- k= 5 2$ , т.е. проделаем гомотетию с центром в центре куба и данным коэффициентом подобия. Получим четыре вершины нового тетраэдра внутри куба. Поскольку цветов у пластилина три, хотя бы две вершины этого тетраэдра будут одного цвета.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47912

Существует ли $9$ -угольная пирамида, на ребрах которой можно выбрать направления (стрелки) так, чтобы сумма всех $18$ векторов-ребер равнялась нулевому вектору?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что работать с векторами в пространстве — затея не самая приятная... Хотелось бы как-то перенестись в пространство меньшей размерности, может быть, на какую-нибудь прямую, где уже будет легче работать! Можно ли это сделать?

Подсказка 2

Естественно, ведь векторы можно проецировать! Тогда можно выбрать «хорошую» прямую, на которую будет удобно проецировать... Высота пирамиды здорово подойдёт! Что же станет с суммой векторов после проецирования?

Подсказка 3

Останется только сумма равных по модулю проекций девяти ненулевых векторов, которые являются боковыми рёбрами. Раз сумма векторов должна быть равна нулевому вектору, то и сумма их проекций должна быть равна нулю. Возможно ли такое, учитывая предыдущие наблюдения?

Подсказка 4

Эти девять проекций, конечно, равны по модулю, но могут иметь разные знаки. И их сумма равна нулю... Осталось сделать выводы про количества положительных и отрицательных проекций!

Показать ответ и решение

Рассмотрим систему координат с центром в основании высоты пирамиды, одну из осей направим вдоль самой высоты. Тогда длина проекции на эту ось, то есть соответствующая координата, каждого вектора будет равна нулю для рёбер из основания и иметь одинаковое по модулю значение для боковых рёбер — длина высоты с положительным или отрицательным знаком.

Чтобы сумма векторов была нулевой необходимо, чтобы сумма этих координат (соответствующая координата суммы) была равна нулю.

Пусть длина высоты равна $h$ и $n$ координат из $9$ ненулевых положительны, тогда эта координата равна