Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Тригонометрия на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68259

Решите неравенство

2cos(cosx)> 1

Источники: БИБН-2023, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте использовать тот факт, что cosx принимает значения от -1 до 1.

Подсказка 2

Посмотрите, может ли как-то помочь в решении неравенства область допустимых значений cos(cosx)?

Подсказка 3

Сравните наименьшее значение cos(cosx) и 1/2.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как

π π −3 < −1≤ cosx ≤1 <-3,

то неравенство верно для любого $x,$ поскольку тогда

− π3 < cosx < π3 =⇒ cos(cosx)> 12

Второе решение.

Как известно, $cosx∈ [− 1,1],$ откуда $cos(cosx)∈[cos(cos1),1].$ Осталось показать, что

2coscos1> 1 ⇐⇒ coscos1>1∕2⇐ coscos1 >cos1> cosπ∕3= 1 2

То есть неравенство выполнено для всех $x.$

Ответ:

$x ∈ℝ.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74465

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = (arcsinx)⋅(arccosx)

Источники: БИБН-2022, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На прямую оценить наше произведение как-то непросто. Но мы же помним, что arcsinx+arccosx=π/2. Поэтому можно избавиться от arccosx...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену: arcsinx=t. Тогда нам необходимо найти min и max функции t(π/2-t), при -π/2≤t≤π/2. Что будет являться максимумом нашей функции?

Подсказка 3

Т.к. t(π/2-t)- это парабола с ветвями вниз, то ее максимум находится в вершине. Осталось найти минимум. Ясно, что он находится на каком то из концов отрезка [π/2;π/2]. Найдите его и завершите решение!

Показать ответ и решение

Значения $arcsinx$ и $arccosx$ при любом $x ∈[−1;1],$ как известно, связаны соотношением

π arcsinx+ arccosx = 2

Таким образом, требуется исследовать функцию

y(t)= t(π∕2− t),

где $[ π π] t= arcsin x∈ − 2;2 .$ Данная квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом принимает наибольшее значение в точке $π t= 4$ (вершине параболы), равное $π2 16.$ Наименьшее значение принимается на границе промежутка $[ π π] − 2;2 ,$ а именно, в точке $π t=− 2$ и оно равно $π2 − 2$ (на другом конце промежутка, при $π t = 2,$ значение равно нулю). Соответствующие значения $x,$ в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, таковы: $√2 x= 2$ и $x =− 1.$