Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Тригонометрия на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103845

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Источники: БИБН - 2025, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неприятно, когда в уравнении есть и синус, и косинус. Давайте попробуем оставить что-то одно.

Подсказка 2

С помощью ОТТ выразим косинус через синус. При раскрытии скобок получатся большие степени, поэтому наша задача — разложить выражение на множители. Вспомните формулы разности квадратов и суммы кубов для этого.

Подсказка 3

Теперь нам остаётся только аккаратно раскрыть произведение в бОльшей скобке, и заново всё сгруппировать, чтобы найти корни:)

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68259

Решите неравенство

2cos(cosx)> 1

Источники: БИБН-2023, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте использовать тот факт, что cosx принимает значения от -1 до 1.

Подсказка 2

Посмотрите, может ли как-то помочь в решении неравенства область допустимых значений cos(cosx)?

Подсказка 3

Сравните наименьшее значение cos(cosx) и 1/2.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как

π π −3 < −1≤ cosx ≤1 <-3,

то неравенство верно для любого $x,$ поскольку тогда

− π3 < cosx < π3 =⇒ cos(cosx)> 12

Второе решение.

Как известно, $cosx∈ [− 1,1],$ откуда $cos(cosx)∈[cos(cos1),1].$ Осталось показать, что

2coscos1> 1 ⇐⇒ coscos1>1∕2⇐ coscos1 >cos1> cosπ∕3= 1 2

То есть неравенство выполнено для всех $x.$

Ответ:

$x ∈ℝ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74465

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

y = (arcsinx)⋅(arccosx)

Источники: БИБН-2022, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На прямую оценить наше произведение как-то непросто. Но мы же помним, что arcsinx+arccosx=π/2. Поэтому можно избавиться от arccosx...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену: arcsinx=t. Тогда нам необходимо найти min и max функции t(π/2-t), при -π/2≤t≤π/2. Что будет являться максимумом нашей функции?

Подсказка 3

Т.к. t(π/2-t)- это парабола с ветвями вниз, то ее максимум находится в вершине. Осталось найти минимум. Ясно, что он находится на каком то из концов отрезка [π/2;π/2]. Найдите его и завершите решение!

Показать ответ и решение

Значения $arcsinx$ и $arccosx$ при любом $x ∈[−1;1],$ как известно, связаны соотношением

π arcsinx+ arccosx = 2

Таким образом, требуется исследовать функцию

y(t)= t(π∕2− t),

где $[ π π] t= arcsin x∈ − 2;2 .$ Данная квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом принимает наибольшее значение в точке $π t= 4$ (вершине параболы), равное $π2 16.$ Наименьшее значение принимается на границе промежутка $[ π π] − 2;2 ,$ а именно, в точке $π t=− 2$ и оно равно $π2 − 2$ (на другом конце промежутка, при $π t = 2,$ значение равно нулю). Соответствующие значения $x,$ в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения функции, таковы: $√2 x= 2$ и $x =− 1.$

Ответ:

$π2,− π2 16 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#108445

Докажите неравенство

α- (π ) sin αcos 2 ≤ sin 4 + α

для всех $[ π] α ∈ 0,2$ .

Источники: БИБН-2020, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для удобства сведём всё к синусам и косинусам от α.

Подсказка 2

Для этого воспользуйтесь формулами синуса суммы и косинуса двойного угла.

Подсказка 3

Теперь в неравенстве есть корень, с которым неудобно работать. Чтобы сделать неравенство более приятным, попробуйте как-то применить идею домножения на сопряжённое.

Показать доказательство

В правой части по формуле синуса суммы имеем

(π ) √2 sin 4 +α = 2-(cosα+ sinα).

К левой части применим формулу косинуса двойного угла

√------- cosα-= -1+√-cosα- 2 2

(здесь мы учли, что $cosα≥ 0 2$ при $α ∈[0,π ] 2$ ). Тогда исходное неравенство запишется в виде

sinα√1-+cosα≤ cosα +sin α⇔ sinα(√1-+cosα− 1) ≤cosα.

Домножив это неравенство на положительное число $√1-+cosα+ 1$ , получим равносильное неравенство

sinα cosα≤ (√1+-cosα-+1)cosα.

При $α = π2$ последнее неравенство верно (оно принимает вид $0 =0$ ), а при $[ α ∈ 0,π2$ ) поделим его на $cosα >0$ и получим равносильное неравенство

sin α≤ √1+-cosα-+1,

которое очевидно (т.к. $sinα ≤1$ ).