Тема ДВИ по математике в МГУ

Тождественные преобразования на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91952

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа

2+ cos π 3+ sin(π − π ) ---3--5+ -----25---2-.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

п/5 в аргументе немного настораживает, хотелось бы для начала поработать с ним. Как можно преобразовать синус?

Подсказка 2

В аргументе синуса присутствует также п/2, на какое преобразование это намекает?

Подсказка 3

Преобразуем синус по формуле приведения!

Подсказка 4

После подсчёта осталась незамысловатая дробь…но как быть с cos(п/5) при оценке выражения?

Подсказка 5

Оцените косинус и, вследствие этого, числитель

Показать ответ и решение

Преобразуем по формуле приведения:

(π π) (π π ) (π) sin 5 − 2 = − sin 2 −-5 = − cos 5

Теперь приведем исходное выражение к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые в числителе:

π (π) π π π 2+-cos-5+ 3−-cos-5--= 4+9-+2cos5 −-3cos5-= 13-− cos5 3 2 6 6

Выделим целую часть:

13-− cosπ5-=2 + 1 − cosπ5 6 6 6

Заметим, что $cosπ∈ (0;1), 5$ поэтому $1 − cosπ5-∈(0;1). 6 6$ Тогда наибольшее число, не превосходящее заданного числа, равно $2.$

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91975

Найдите целое число, задаваемое выражением

∘ ---√-- ∘ ---√-- 3−-√5 + 3+-√5 3+ 5 3− 5

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся свойством: √(a/b) = √a/√b. Теперь можно привести нашу сумму дробей к общему знаменателю!

Подсказка 2

Осталось применить формулу разности квадратов и аккуратно всё вычислить! Ответ готов!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

∘---√-- ∘---√-- 3-−√-5+ 3-+√-5= 3 + 5 3 − 5

∘3−-√5 ∘3+-√5 = ∘3+-√5-+ ∘3−-√5-

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

√- √- 3−∘--5+-3+--5 = 6= 3. 32 − (√5)2 2

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92112

Найдите целое число, задаваемое выражением

( π) ( π) log1∕2 tg 6 + log1∕2 cos6 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут у нас присутствует сумма логарифмов с одинаковым основанием, что можно с ними сделать?

Подсказка 2

При сложении логарифмов с одинаковым основанием результатом будет логарифм с тем же основанием, а в аргументе будет стоять произведение аргументов первоначальных слагаемых.

Подсказка 3

Осталось вспомнить табличные тригонометрические функции, произвести несложные вычисления и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

( π) ( π ) log1∕2 tg6 +log1∕2 cos 6 =

( π π) ( π) =log1∕2 tg 6 ⋅cos6 = log1∕2 sin6 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92257

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92258

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какую закономерность можно заметить в знаменателях у слагаемых суммы? Можно ли её посчитать?

Подсказка 2

Знаменатель каждого из слагаемых представляет собой сумму членов арифметической прогрессии! Попробуйте расписать ее для произвольного k-го слагаемого

Подсказка 3

Полученная дробь разбивается на разность двух более простых дробей. (Разбиение нетрудно подобрать руками, но можно его найти и через метод неопределенных коэффициентов)

Подсказка 4

Благополучно почти все дроби сократятся! Остается посчитать разность двух дробей

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92341

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

(16)cos(π∕3) ( 9 )− sin(π∕6) 25 + 25 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что синус и косинус из условия — это табличные значения! Давайте посчитаем их ;)

Показать ответ и решение

Так как $cos(π∕3) = 1, 2$ а $− sin(π∕6)= − 1, 2$ то получаем

( )12 ( )− 12 1265 + 295 = 45 + 53 = 3175 = 2+ 715

Наименьшее целое число, большее $2+ 715,$ это 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92361

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

√- √- log2(3+ 2 2)− log2(1+ 2).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на наше выражение. Может быть, есть какое-то свойство, которое прямо напрашивается, чтобы его применили?

Подсказка 2

Да, действительно, применить формулу для разности логарифмов с одинаковым основанием — это отличная идея! В новом аргументе теперь как-то слишком много выражений с корнями, стоит как-то его упростить. Что для этого можно сделать?

Подсказка 3

Умножение на сопряжённое — лучший выбор. Давайте избавимся от корня в знаменателе.

Подсказка 4

Осталось только оценить аргумент относительно ближайших известных нам значений, при равенстве аргумента логарифма которым, получатся целые значения, и найти ответ.

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов

√ - √ - ( 3+ 2√2 ) log2(3+2 2)− log2(1 + 2) =log2 1+-√2- =

Домножаем на сопряжённое, чтобы применить формулу разности квадратов

((3+ 2√2-)(√2− 1)) ( √-) = log2 -(1+-√2)(√2-−-1)- = log2 1+ 2

Так как $√- 1< 2 <2,$ то $√ - 2 <1 + 2<3 <4.$ Тогда получаем, что

1= log2(2)< log2(1+ √2)< log2(4)= 2.

Таким образом, искомое число это $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89774

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90319

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64520

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64521

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64522

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#64523

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64524

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 227, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90132

Найдите наименьшее целое число, большее, чем $√√17+3. 17−3$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 221, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для того, чтобы удобно было оценивать наше число, избавимся от иррациональности в знаменателе: на что удобно для этого домножить нашу дробь?

Подсказка 2

Умножьте дробь на такое выражение, чтобы в знаменателе образовалась разность квадратов.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулами сокращённого умножения, чтобы раскрыть скобки в числителе и в знаменателе, можно ли сократить получившуюся дробь?

Подсказка 4

Осталось оценить √17 и можно записывать ответ!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе

√17-+3 26 +6√17 13 +3√17 T = √17-− 3 =--8----= ---4----

Поскольку $√-- 4< 17< 5$ , то

(13+ 12)∕4< T <(13+15)∕4

6< 25∕4< T < 7

Тогда ответом будет $7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64519

Известно, что

--x- 1−-x -1 f(x)= 1+ x + x −24

Найдите $(3) f 5.$

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как мы вычисляем значение функции при конкретном значении переменной и найдите ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подставим и упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю

3∕5 1− 3∕5 1 3 2 1 9+ 16 − 1 24 f(3∕5)= 1+3∕5 +--3∕5--− 24 = 8 + 3 − 24-=--24----= 24-= 1

Второе решение.

Преобразуем функцию

2 -x--+ 1− x-− 1-= x-+-(1-− x)(1+-x)− 1-= 1+x x 24 (1+x)x 24

x2+-1− x2 1- --1--- -1 = (1+ x)x − 24 = (1 +x)x − 24

Подставим $x =3∕5$ :

1 1 25 1 3∕5-⋅8∕5 − 24 = 24-− 24-= 1

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63905

Известно, что $a+ b+ c=5$ и $ab+ bc+ac= 4$ . Найдите $a2 +b2+ c2.$

Источники: ДВИ - 2017, вариант 1, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то, что нам дано и что мы хотим найти. Подумайте о том, какие формулы могут связывать произведения чисел, сами числа и их квадраты?

Подсказка 2

Верно, это формула квадрата суммы трех слагаемых! Воспользуйтесь ей и преобразуйте выражение так, чтобы можно было из того, что нам дано найти то, что у нас просят!

Показать ответ и решение

$(a+ b+c)2 = a2+b2+ c2 +2(ab+bc+ ac)$ , откуда $a2+ b2+ c2 =52− 2⋅4= 17.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#89908

Вычислите $∘ ----√--∘ ---√-- √- 6 4− 2 3⋅ 31+ 3⋅ 34.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно упростить выражение. Может, как-то можно упростить выражение под корнем?

Подсказка 2

Точно! Выражение под корнем — это полный квадрат (√3-1)². Мы видим, что выражение в первом корне является сопряжённым к выражению во втором корне.

Показать ответ и решение

Заметим, что $4= 1+ 3,$ откуда под первым знаком корня имеем:

∘ ------- ∘---------- -------- ------- ∘------ 6 4− 2√3 = 63 − 2√3 + 1= ∘6(√3− 1)2 = 3∘ |√3-− 1|= 3√3 − 1.

Вернемся к исходному выражению и применим формулу разности квадратов:

∘ ------ ∘ ------ 3√3 − 1⋅ 3 1+ √3⋅√34-= √33-−-1⋅ 3√4-= 3√2-⋅4= 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#90114

Вычислите $---2√--+ --2-√-. 7+ 4 3 7− 4 3$

Показать ответ и решение

Приведем дроби к одному знаменателю:

2(7− 4√3)+ 2(7+ 4√3-) -------√-------√----. (7+ 4 3)(7− 4 3)

Заметим в знаменателе разность квадратов и раскроем скобки в числителе:

14 − 8√3-+ 14+ 8√3 28 ------49−-48----- = 1-= 28.

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90138

Найдите целое число, задаваемое выражением:

( 1 1 )2 ( 1 1 )2 √-----+ √----- + √-----− √----- . 2 − 1 2 +1 2− 1 2+ 1

Показать ответ и решение

$( )2 ( )2 √--1--+ √--1-- + √-1---− √-1--- = 2− 1 2(+√1 √ 2 − 1) 2( +√1- √- ) -2-+1-+--2−-1- 2 --2+-1−--2-+1- 2 = (√ 2− 1)(√2 +1) + (√2− 1)(√ 2+ 1) = ( 2√2- )2 ( 2 )2 ( 2√2 )2 ( 2 )2 = -√--2--- + -√--2--- = 2−-1 + 2−-1 = ( 2) − 1 ( 2) − 1 √- 2 2 = (2 2) + 2 = 4⋅2+ 4= 8+ 4 =12.$

Ответ: 12