Тема ДВИ по математике в МГУ

Тождественные преобразования на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130318Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $f(x)=√x-+ 15. x$ Найдите наименьшее целое число, превосходящее $f(25). 16$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка

Давайте попробуем вычислить значение функции в интересующей нас точке. Какое наименьшее целое число будет больше полученного значения?

Показать ответ и решение

Подставим $x= 25: 16$

( 25) ∘ 25- 15 5 48 f 16 = 16 + (25)-= 4 +-5 = 10,85 16

Таким образом, наименьшее целое число, превосходящее $f(2156)$ — это число $11.$

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130823Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде целое число, задающееся выражением

( 1 1 1 )−1 24-+ 15 − 10

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой стандартный приём помогает сложить две произвольные дроби?

Подсказка 2

Надо просто привести дроби к общему знаменателю и посчитать. А как возвести дробь в -1 степень?

Подсказка 3

Правильно, чтобы возвести дробь в -1 степень, её нужно перевернуть.

Показать ответ и решение

Последовательно приведём дроби к общему знаменателю

( 1 1 1) −1 ( 1 1 )−1 ( 30 − 24)−1 ( 1 ) −1 24 +15 −10 = 24 − 30 = 30⋅24- = 120- = 120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#132595Максимум баллов за задание: 7

Какое из следующих двух чисел больше: $∘ 20- 13 7 + 3$ или 6?

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим сравнить 2 положительных числа, то можно посмотреть на их квадраты. А как это сделать более удобно в нашей задаче? Не хотелось бы возводить сумму в квадрат...

Подсказка 2

Вычтите из обоих чисел 13/3. Останется только сравнить две дроби, например, приведя их к общему знаменателю.

Показать ответ и решение

Вычтем из обоих чисел $13 3$ и сравним $∘ 20- 7$ с $5 3.$

Возведем оба числа в квадрат, тогда если, например, квадрат первого числа окажется больше квадрата второго, то можно сделать вывод, что первое число больше второго, так как они положительные. Получим $20 7-$ и $25 9-.$ Осталось лишь привести их к общему знаменателю:

20 20⋅9 180 7-= -7⋅9 =-56

25= 25⋅7 = 175 9 9⋅7 56

Квадрат первого числа больше, следовательно, первое число больше.

Ответ:

Первое число больше

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#132896Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x:y =9 :7.$ Найдите $x-+y. x − y$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выразим x через y и подставим в выражение, значение которого необходимо найти.

Показать ответ и решение

Так как

x 9 9 y = 7 и x= 7 ⋅y,

получаем, что

9 16- x+y-= 79 ⋅y+-y-= 72-⋅y= 8 x− y 7 ⋅y− y 7 ⋅y

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91952Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа

2+ cos π 3+ sin(π − π ) ---3--5+ -----25---2-.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

п/5 в аргументе немного настораживает, хотелось бы для начала поработать с ним. Как можно преобразовать синус?

Подсказка 2

В аргументе синуса присутствует также п/2, на какое преобразование это намекает?

Подсказка 3

Преобразуем синус по формуле приведения!

Подсказка 4

После подсчёта осталась незамысловатая дробь…но как быть с cos(п/5) при оценке выражения?

Подсказка 5

Оцените косинус и, вследствие этого, числитель

Показать ответ и решение

Преобразуем по формуле приведения:

(π π) (π π ) (π) sin 5 − 2 = − sin 2 −-5 = − cos 5

Теперь приведем исходное выражение к общему знаменателю и приведем подобные слагаемые в числителе:

π (π) π π π 2+-cos-5+ 3−-cos-5--= 4+9-+2cos5 −-3cos5-= 13-− cos5 3 2 6 6

Выделим целую часть:

13-− cosπ5-=2 + 1 − cosπ5 6 6 6

Заметим, что $cosπ∈ (0;1), 5$ поэтому $1 − cosπ5-∈(0;1). 6 6$ Тогда наибольшее число, не превосходящее заданного числа, равно $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#91975Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, задаваемое выражением

∘ ---√-- ∘ ---√-- 3−-√5 + 3+-√5 3+ 5 3− 5

Источники: ДВИ - 2024, вариант 242, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуемся свойством: √(a/b) = √a/√b. Теперь можно привести нашу сумму дробей к общему знаменателю!

Подсказка 2

Осталось применить формулу разности квадратов и аккуратно всё вычислить! Ответ готов!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством корня от частного двух положительных чисел и сложим полученные дроби:

∘---√-- ∘---√-- 3-−√-5+ 3-+√-5= 3 + 5 3 − 5

∘3−-√5 ∘3+-√5 = ∘3+-√5-+ ∘3−-√5-

Приведём к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов

√- √- 3−∘--5+-3+--5 = 6= 3. 32 − (√5)2 2

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92112Максимум баллов за задание: 7

Найдите целое число, задаваемое выражением

( π) ( π) log1∕2 tg 6 + log1∕2 cos6 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 243, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут у нас присутствует сумма логарифмов с одинаковым основанием, что можно с ними сделать?

Подсказка 2

При сложении логарифмов с одинаковым основанием результатом будет логарифм с тем же основанием, а в аргументе будет стоять произведение аргументов первоначальных слагаемых.

Подсказка 3

Осталось вспомнить табличные тригонометрические функции, произвести несложные вычисления и записать ответ!

Показать ответ и решение

Воспользуемся свойством суммы логарифмов:

( π) ( π ) log1∕2 tg6 +log1∕2 cos 6 =

( π π) ( π) =log1∕2 tg 6 ⋅cos6 = log1∕2 sin6 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92257Максимум баллов за задание: 7

Дана функция

(x+-1)2+-x2 f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа $f(2024)$ .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

2x2+-2x-+1- x(2x+-1)+x-+1- x+-1- f(x)= 2x+ 1 = 2x +1 =x + 2x +1

Тогда

2025 f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше $1,$ то наибольшее не превосходящее $f(2024)$ целое число это $2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92258Максимум баллов за задание: 7

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какую закономерность можно заметить в знаменателях у слагаемых суммы? Можно ли её посчитать?

Подсказка 2

Знаменатель каждого из слагаемых представляет собой сумму членов арифметической прогрессии! Попробуйте расписать ее для произвольного k-го слагаемого

Подсказка 3

Полученная дробь разбивается на разность двух более простых дробей. (Разбиение нетрудно подобрать руками, но можно его найти и через метод неопределенных коэффициентов)
Теперь вместо каждого слагаемого суммы подставляем его представление через разность дробей. Что получим?

Подсказка 4

Благополучно почти все дроби сократятся! Остается посчитать разность двух дробей

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92341Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

(16)cos(π∕3) ( 9 )− sin(π∕6) 25 + 25 .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что синус и косинус из условия — это табличные значения! Давайте посчитаем их ;)

Показать ответ и решение

Так как $cos(π∕3) = 1, 2$ а $− sin(π∕6)= − 1, 2$ то получаем

( )12 ( )− 12 1265 + 295 = 45 + 53 = 3175 = 2+ 715

Наименьшее целое число, большее $2+ 715,$ это 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92361Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее целое число, превосходящее число

√- √- log2(3+ 2 2)− log2(1+ 2).

Источники: ДВИ - 2024, вариант 246, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на наше выражение. Может быть, есть какое-то свойство, которое прямо напрашивается, чтобы его применили?

Подсказка 2

Да, действительно, применить формулу для разности логарифмов с одинаковым основанием — это отличная идея! В новом аргументе теперь как-то слишком много выражений с корнями, стоит как-то его упростить. Что для этого можно сделать?

Подсказка 3

Умножение на сопряжённое — лучший выбор. Давайте избавимся от корня в знаменателе.

Подсказка 4

Осталось только оценить аргумент относительно ближайших известных нам значений, при равенстве аргумента логарифма которым, получатся целые значения, и найти ответ.

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов

√ - √ - ( 3+ 2√2 ) log2(3+2 2)− log2(1 + 2) =log2 1+-√2- =

Домножаем на сопряжённое, чтобы применить формулу разности квадратов

((3+ 2√2-)(√2− 1)) ( √-) = log2 -(1+-√2)(√2-−-1)- = log2 1+ 2

Так как $√- 1< 2 <2,$ то $√ - 2 <1 + 2<3 <4.$ Тогда получаем, что

1= log2(2)< log2(1+ √2)< log2(4)= 2.

Таким образом, искомое число это $2.$

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89774Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $x:y =19:17$ . Найдите $x+-y x− y$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует $x =19t,y =17t,$ тогда

x+-y 19t+17t 36t x− y = 19t− 17t = 2t = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90319Максимум баллов за задание: 7

Чему равна сумма выражений $√2023+-t2$ и $√999+t2$ , если их разность равна $8$ ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим $a= √2023+-t2, b= √999+-t2.$ По условию

a− b= 8

Рассмотрим $a2− b2$ :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{ a− b =8 1024- a2 − b2 = 1024 =⇒ (a− b)(a +b)= 1024 =⇒ a+ b= 8 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64520Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Источники: ДВИ - 2022, вариант 222, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#64521Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 223, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно сравнивать между собой положительные числа? Как мы можем избавиться от некоторых корней?

Подсказка 2

Можно просто сравнить квадраты данных чисел!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64522Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 225, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#64523Максимум баллов за задание: 7

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Источники: ДВИ - 2022, вариант 226, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Заметим, что 9 можно представить как √3 в некоторой целой степени, после этого мы сможем перейти к сравнению показателей) А чтобы сравнить получившиеся показатели степени, удобно будет просто сравнить их квадраты

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.