Стереометрия на МВ (Финашке)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все вершины тетраэдра равноудалены от точки
. Зная, что
найдите радиус сферы,
проходящей через
и через середины рёбер
и
Подсказка 1
Важная идея при работе с тетраэдрами — это достроить тетраэдр до параллелепипеда. Если мы сделаем так в этой задаче, то какой параллелепипед получится?
Подсказка 2
Верно, прямоугольным! А где будут располататься точки, через которые проходит искомая сфера?
Подсказка 3
Да, это центр параллелепипеда и середины его граней! При этом диаметр нашей сферы — это отрезок, соединяющий точку O и одну из вершину параллелепипеда.
Подсказка 4
Что нам дают длины диагоналей граней параллелепипеда? На этом деле квадрат этой длины — это сумма квадратов длин двух некоторых рёбер. Используйте это, чтобы найти искомый радиус.
Достроим тетраэдр до параллелепипеда
, проведя через его противоположные рёбра пары
параллельных плоскостей.
Ввиду равенств и
все грани этого параллелепипеда будут прямоугольниками, а сам
параллелепипед — прямоугольным; точка
окажется его центром, а середины рёбер
и
— центрами граней
и
соответственно.
Bce эти центры принадлежат сфере, построенной на отрезке как на диаметре. Следовательно, искомый радиус
равен
Учитывая, что
получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длина ребра куба равна 1. Найдите радиус сферы, проходящей через точку
и касающейся прямых
и
.
Подсказка 1
Тут у нас и параллельные прямые, и биссектрисса - давайте поищем равные углы. Помним, что биссектрисса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.
Подсказка 2
Верно, получаем MCK равнобедренный. Тогда ОС (где О - центр окружности) - серединный перпендикуляр КМ, а треугольники KOC и МОС равны и равнобедренны. На этом этапе давайте остановимся в изучении чертежа и подумаем, как нам доказать требуемое. Какой признак может указывать на принадлежность точки О описанной окружности BCD?
Подсказка 3
Конечно, в нашем случае проще всего будет доказывать через равенство вписанных углов. Для каких двух углов будет удобнее это доказать?
Подсказка 4
Конечно, легче находится, что OBC и ODC равны и опираются на дугу ОС. Это несложно вывести, если увидеть равенство треугольников BKO и DCO. Теперь остаётся только последовательно всё доказать
Введём декартову систему координат с центром в точке , ось абсцисс — луч
, ось ординат — луч
, ось аппликат — луч
.
Пусть — проекция центра сферы на грань
куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых
и проходит через точку
, то расстояние от точки
до прямых
и
и точки
одинаково (обозначим его
).
Тогда
лежит на луче
, который является биссектрисой угла
. Осталось учесть условие, что центр сферы
касается прямой
, то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой
совпадает с радиусом сферы
.
Заметим, что есть два случая расположения точки (на рисунке показаны разными цветами):
Случай 1: точка лежит на диагонали
.
Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим:
, откуда
. Значит,
центр сферы
имеет координаты
.
Расстояние до прямой равно
. То есть радиус
Случай 2: точка лежит на продолжении луча
.
Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим:
, откуда
. Значит,
центр сферы
в этом случае имеет координаты
.
Расстояние до прямой равно
. То есть радиус
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На поверхности правильного тетраэдра построена замкнутая линия, каждая точка
которой обладает следующим свойством:
длина кратчайшего пути по поверхности тетраэдра между
и серединой ребра
равна длине кратчайшего пути по
поверхности тетраэдра между
и серединой ребра
. Найдите длину этой линии, если длина ребра тетраэдра равна
1.
Источники:
Подсказка 1
У нас тут рассматривается расстояние по поверхности...Как можно перевести картинку на плоскость в таком случае, чтобы было более удобно?
Подсказка 2
Рассмотреть развертку! Вот пусть мы развернули его так, что получился ромб ABCD, где AC - общее ребро у развернутых граней. Но все еще непонятно как работать с линиями ломаной, которые не получится нормально нарисовать на развертке. Что можно в таком случае придумать?
Подсказка 3
Давайте мысленно "порежем" нашу ломаную ребрами и отрезками AN, BN, CM, DM, где M и N - середины AB и CD, и рассмотрим только ту часть ломаной, что внутри треугольника AMC на нашей развертке. Наверное, в этом треугольнике не сложно найти такие точки на развертке?
Подсказка 4
Например, пусть P - точка ломаной внутри AMC. Понятно, что кратчайший путь от P до M - это PM, а кратчайший путь от P до N - это отрезок PN). Такие отрезки должны быть равны, а значит какое ГМТ у P?
Подсказка 5
Серединный перпендикуляр к MN! Достаточно легко теперь найти длину этой ломаной внутри AMC. А что делать с остальными частями этой ломаной? Вот что: попробуйте осознать, что они будут такими же, например, из соображений симметрии)
Пусть и
— середины ребер
и
соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами
и отрезками
линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки,
принадлежащие треугольнику
.
Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между
и
служит отрезок
, а кратчайшим путем между
и
- двухзвенная ломаная
, вершина
которой принадлежит ребру
(в случае
имеем просто отрезок
. На развертке
тетраэдра объединение граней
и
представляет собой ромб
, а ломаная
- отрезок
в нем. Условие
означает, что
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
; следовательно геометрическим местом точек
служит отрезок
, где
- середина ребра
(и середина отрезка
)
- точка на отрезке
,
(см
рисунок).
Найдем длину отрезка . Легко видеть, что
, а отрезок
, будучи средней линией треугольника
, имеет длину
. Поэтому
Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через каждую пару противоположных рёбер куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разбивают куб?
Источники:
Подсказка 1
Нам довольно трудно представить разбиение на части внутри куба, так что давайте начнём с рассмотрения граней. Как проведённые плоскости разобьют поверхность куба?
Подсказка 2
Да, каждая грань делится плоскостями на 4 треугольника, соответственно вся площадь делится на 24 части. Теперь можем подумать о том, как плоскости разделяют фигуру внутри. Будут ли образовываться такие "внутренние" части, у которых нет общих точек с поверхностью?
Подсказка 3
Да, получаем, что все плоскости пересекаются в центре, при этом каждой части соответствует ровно один треугольник с поверхности. Какой мы из этого можем сделать вывод?
Каждая такая плоскость проходит через пару параллельных диагоналей противоположных граней куба. Поэтому каждая грань разбита на
а вся поверхность куба —на
треугольника, каждые два из которых отделены друг от друга хотя бы одной из
проведённых плоскостей. А поскольку все проведённые плоскости пересекаются в центре куба, то каждая часть содержит в
качестве одной из своих граней один из этих
треугольников. Следовательно, число частей разбиения также равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
и
— проекции вершины
правильной треугольной пирамиды
на биссекторные плоскости двугранных углов при
рёбрах
и
Найдите тангенс каждого из этих углов, если объём пирамиды
в
раз меньше объёма пирамиды
Источники:
Подсказка 1
Сходу непонятно, что делать с условием на перпендикуляры к плоскостям, может, попытаться сделать какое-то дополнительное построение, связанное с вершиной S и одной из этих плоскостей?
Подсказка 2
Правильно, сделать симметрию точки S относительно плоскости A'BC и получить точку S₁. Попробуйте получить точки S₂, S₃ по такой же симметрии, только относительно AB'C и ABC'.
Подсказка 3
Мы получили треугольник S₁S₂S₃, кажется, что он концентричен с треугольником ABC (докажите это, используя поворот относительно высоты пирамиды).
Подсказка 4
Треугольник PSS₁ равнобедренный (P - середина BC), так как PA' - высота и биссектриса, а значит SA'=A'S₁, следовательно, пирамида SS₁S₂S₃ является образом SA'B'C' при гомотетии с коэффициентом 2 и центром в S, а значит, как относятся их объемы?
Подсказка 5
Правильно, в 8 раз. Теперь мы можем использовать условие с отношениями объемов SABC и SA'B'C', найдя отношение объемов SABC и SS₁S₂S₃ и отношение площадей их оснований.
Подсказка 6
Проведём высоту SO нашей пирамиды и найдем отношение S₁O/AO с помощью отношения площадей.
Подсказка 7
Выразим S₁O и OA через SO и найдем тангенс угла, который нужно вычислить в задаче с помощью найденных отрезков.
Точки и
симметричные
относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости
А поскольку тройка этих
биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на
вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек
Следовательно, треугольник
— правильный, и его центр, который мы обозначим через
совпадает с центром
треугольника
Заметим, далее, что пирамида —- образ пирамиды
при гомотетии с центром
и коэффициентом
С учётом
условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид
и
равно
А поскольку у этих пирамид общая
высота
то и отношение площади треугольника
к площади треугольника
равно
В качестве следствия
получается равенство
которое будет нами использовано.
Обозначив величину двугранного ребра при ребре через
, точкой, симметричной
относительно соответствующей биссекторной
плоскости будем считать
Тогда где
— середина ребра
; треугольник
— равнобедренный
откуда
А поскольку
то
При левая часть последнего равенства равна
что позволяет найти
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Около шара радиуса описана правильная
-угольная призма, все ребра которой касаются некоторого другого шара. Докажите, что
и найдите объём этой призмы.
Подсказка 1
В этой задаче самое главное — связать боковую сторону и сторону многоугольника основания. Так как в основании у нас правильный многоугольник, в который вписана окружность радиуса 1, то чему в этом случае равна сторона основания? А какой факт можно извлечь из того, что вторая сфера касается каждого ребра?
Подсказка 2
В этом случае, сторона равна 2tg(pi/n) — просто опускаем высоту из центра на какую-нибудь сторону и вычисляем. А вот из того, что вторая сфера касается каждого ребра, следует, что прямоугольник боковой стороны является описанным. Осталось связать этот факт и тот, что в призму вписана сфера с радиусом 1, и получим ответ!
Высота призмы и боковое ребро равны (диаметру вписанного шара).
Основания призмы являются правильными -угольниками, описанными около окружностей радиуса
Согласно известной формуле,
сторона основания в этом случае равна
Поверхность шара, касающегося рёбер призмы, пересекает каждую из граней по окружности.
Это значит, что прямоугольники, служащие боковыми гранями, описанные, а потому являются квадратами. Отсюда и
Таким образом, призма представляет собой куб
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Длины диагоналей граней и
параллелепипеда
выражаются различными целыми числами.
Какой наименьшей может быть сумма этих чисел?
Подсказка 1
В условии можно зацепиться за целочисленность и различие диагоналей. Давайте попробуем их как-то оценить!
Подсказка 2
Подумайте, насколько маленькими могут быть указанными диагоналями?
Подсказка 3
Возьмите какую-то из указанных диагоналей и оцените её при помощи неравенства треугольника для некоторой грани.
Подсказка 4
Докажите, что длина каждой из указанных диагоналей хотя бы 2.
Ни одна из рассматриваемых диагоналей не может иметь длину 1. Действительно, невозможно, равенство , поскольку в треугольнике
(сторона
которого равна
) должно выполняться неравенство
Аналогично доказывается для диагоналей граней и
.
Таким образом, наименьшая длина одной из шести диагоналей рассматриваемых граней должна быть не меньше 2.
Нетрудно установить существование параллелепипеда, у которого 6 диагоналей рассматриваемых граней равны и
Например, одновременного могут выполняться следующие равенства:
Таким образом, наименьшая сумма длин граней и
равна 27.