14.02 Поиск цифр(-ы) числа

В этой задаче нам нужно найти минимальное положительное число , такое что выражение в 7-ричной системе счисления содержит ровно 12 цифр . Для этого мы начинаем с организации перебора всех возможных значений с помощью цикла for x in range(1, 10000000), начиная с 1, так как ищем минимальное положительное значение. Для каждого значения вычисляем число в десятичной системе. Далее нам необходимо подсчитать количество цифр в 7-ричной записи этого числа. Вместо явного преобразования числа в строку с основанием 7 мы используем деление с остатком: пока , проверяем, равен ли остаток от деления на 7 цифре 6 с помощью k % 7 == 6, и если да, увеличиваем счётчик counter на 1. После проверки каждой цифры число уменьшается целочисленным делением на 7 k //= 7, чтобы перейти к следующей цифре. Когда все цифры проверены, сравниваем количество найденных шестерок с 12: если counter == 12, значит текущее удовлетворяет условию, и мы выводим его через print(x) и прерываем цикл командой break, так как нам требуется минимальное значение.

# Перебор возможных значений X, начиная с 1
for x in range(1, 10000000):
    # Вычисляем выражение в десятичной системе: k = 343̂5 + 7̂3 - 1 - X
    k = 343**5 + 7**3 - 1 - x
    # Инициализируем счётчик цифр 6 в 7-ричной записи
    counter = 0
    # Пока число не равно нулю, проверяем каждую цифру в 7-ричной записи
    while k != 0:
        # Если последняя цифра равна 6, увеличиваем счётчик
        counter += k % 7 == 6
        # Убираем последнюю цифру (делим на 7 целочисленно)
        k //= 7
    # Если найдено ровно 12 цифр 6, выводим текущий X и прерываем цикл
    if counter == 12:
        print(x)
        break

Даны два числа в 4-ричной системе счисления с переменной x: и , где x может принимать значения от 0 до 3. Наша задача — найти наименьшее значение x, при котором сумма этих чисел в десятичной системе делится на 3, и затем вычислить частное от деления суммы на 3. Мы начинаем с перебора всех возможных значений x с помощью цикла for x in range(4). Для каждого значения x мы составляем строковое представление первого числа ’20’ + str(x) + ’3’ и второго числа ’1’ + str(x) + ’32’. Функция int(строка, 4) преобразует эти строки из 4-ричной системы в десятичные числа. Затем мы суммируем эти два числа, получая результат выражения в десятичной системе. После этого проверяем, делится ли сумма на 3, используя условие if res % 3 == 0, где res % 3 — это остаток от деления на 3. Если остаток равен нулю, значит, сумма делится на 3, и мы выводим частное от деления суммы на 3 через print(res // 3).

# Перебираем все возможные значения x от 0 до 3
for x in range(4):
    # Преобразуем первое число $20x3_4$ в десятичную систему
    a = int(’20’ + str(x) + ’3’, 4)
    # Преобразуем второе число $1x32_4$ в десятичную систему
    b = int(’1’ + str(x) + ’32’, 4)
    # Находим сумму чисел
    res = a + b
    # Проверяем, делится ли сумма на 3
    if res % 3 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления суммы на 3
        print(res // 3)
        # Прерываем цикл, так как мы ищем минимальное x
        break

Даны два числа в разных системах счисления: первое в 6-ричной и второе в 4-ричной системе, при этом переменная x обозначает неизвестную цифру из алфавита 4-ричной системы счисления (значит, x может быть 0, 1, 2 или 3). Нам нужно найти наибольшее значение x, при котором сумма этих чисел в десятичной системе делится на 7, а затем вычислить частное от деления этой суммы на 7. Для реализации перебираем все возможные значения x с помощью цикла for x in range(4). Для каждого x формируем строковое представление первого числа ’1’ + str(x) + ’34’ и второго числа ’23’ + str(x) + ’1’. Функция int(строка, основание) переводит такие строки в десятичное число, учитывая указанное основание системы счисления (в первом случае 6, во втором 4). После перевода суммируем оба результата, получая значение выражения в десятичной системе. Далее проверяем условие делимости на 7 через if сумма % 7 == 0, где операция % возвращает остаток от деления на 7. Если остаток равен нулю, значит, текущее x подходит, и мы выводим частное от деления суммы на 7 с помощью print(сумма // 7). Так как перебор идёт от меньшего к большему, наибольшее подходящее x будет напечатано последним, и именно его частное — это итоговый ответ.

# Перебираем все возможные значения x от 0 до 3 (все цифры 4-ричной системы счисления)
for x in range(4):
    # Проверяем, делится ли сумма двух чисел $1x34_{6}$ и $23x1_{4}$ на 7
    # Первое число формируем как ’1’ + str(x) + ’34’ и переводим в десятичную систему из 6-ричной
    # Второе число формируем как ’23’ + str(x) + ’1’ и переводим в десятичную систему из 4-ричной
    # Складываем эти значения и берём остаток от деления на 7
    if (int(’1’ + str(x) + ’34’, 6) + int(’23’ + str(x) + ’1’, 4)) % 7 == 0:
        # Если сумма делится на 7, выводим частное от деления суммы на 7
        print((int(’1’ + str(x) + ’34’, 6) + int(’23’ + str(x) + ’1’, 4)) // 7)

Даны два числа в 11-ричной системе счисления: и , в которых переменная x обозначает неизвестную цифру из алфавита этой системы. Алфавит 11-ричной системы включает цифры от 0 до 9 и букву A, обозначающую число 10 в десятичной системе. Наша задача — найти наименьшее значение x, при котором сумма этих чисел в десятичной системе делится на 8, а затем вычислить частное от деления этой суммы на 8. Для этого мы перебираем все возможные значения x, проходя по строке ’0123456789A’ с помощью цикла for x in ’0123456789A’:, где каждая итерация возвращает символ, который может представлять цифру в 11-ричной системе. На каждой итерации мы формируем строковое представление первого числа ’348’ + str(x) + ’5’ и второго числа ’1’ + str(x) + ’111’. Затем с помощью функции int(строка, 11) каждое из этих представлений переводится в десятичное число: второй аргумент функции указывает, что исходное значение записано в системе счисления с основанием 11. После перевода мы складываем оба результата и сохраняем сумму в переменной s. Далее проверяем, делится ли эта сумма на 8, используя условие if s % 8 == 0, где % возвращает остаток от деления на 8. Если остаток равен нулю, значит, сумма делится на 8, и мы выводим частное от деления суммы на 8 через print(s // 8). Поскольку требуется наименьшее значение x, после вывода результата используем команду break, чтобы остановить выполнение цикла и не проверять остальные значения x.

# Перебираем все возможные значения x из алфавита 11-ричной системы счисления (0–9 и A для числа 10)
for x in ’0123456789A’:
    # Переводим первое число $348x5_{11}$ в десятичную систему
    # Формируем строку, подставляя текущее значение x, и используем основание 11
    # Аналогично переводим второе число $1x111_{11}$ в десятичную систему
    # Складываем оба результата и сохраняем в переменную s
    s = int(’348’ + str(x) + ’5’, 11) + int(’1’ + str(x) + ’111’, 11)
    # Проверяем, делится ли сумма на 8 (остаток от деления на 8 равен нулю)
    if s % 8 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления суммы на 8
        print(s // 8)
        # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее подходящее значение x
        break

В задаче заданы два числа в 23-ричной системе счисления, содержащие переменную x, которая может принимать значения от 0 до 22 и представлена символом из алфавита системы: от 0 до 9, затем A, B, …, M. Мы объявляем строку digits = "0123456789ABCDEFGHIJKLM чтобы хранить все возможные цифры системы счисления в виде символов, и устанавливаем переменную ss = 23 для обозначения основания системы. Далее перебираем каждую возможную цифру x из строки digits при помощи цикла for x in digits. Для каждого значения x формируем первую строку числа с помощью конкатенации "14"+ x + "4D"и вторую строку числа как "A"+ x + "F111". Эти строки переводим в десятичную систему при помощи функции int(строка, основание), где основание передаётся как ss. Результаты преобразований сохраняем в переменные s1 и s2. Складываем эти два десятичных числа, получая значение арифметического выражения s = s1 + s2. Затем проверяем, делится ли это значение на 17, используя условие if s % 17 == 0. Если условие выполняется, то мы выводим частное от деления s на 17, используя целочисленное деление s // 17, и сразу завершаем перебор оператором break, так как требуется минимальное значение x. Поскольку перебор начинается с самой маленькой цифры из алфавита, первое найденное делящееся на 17 значение и будет искомым, а его частное — ответом.

digits = "0123456789ABCDEFGHIJKLM"  # Все цифры 23-ричной системы счисления от 0 до 22
ss = 23  # Основание системы счисления

# Перебираем все возможные значения цифры x
for x in digits:
    # Формируем первую строку числа $14x4D_{23}$ и переводим её в десятичную систему
    s1 = int("14" + x + "4D", ss)
    # Формируем вторую строку числа $AxF111_{23}$ и переводим её в десятичную систему
    s2 = int("A" + x + "F111", ss)
    # Складываем два полученных десятичных числа
    s = s1 + s2
    # Проверяем, делится ли сумма на 17
    if s % 17 == 0:
        # Выводим частное от деления суммы на 17
        print(s // 17)
        # Завершаем цикл, так как найдено минимальное значение x
        break

В задаче нам даны два числа и , записанные в 12-ричной системе счисления, где переменные и — это разные неизвестные цифры из алфавита этой системы (значения от 0 до 11, где 10 и 11 обычно обозначаются буквами A и B). Нужно найти такую пару , чтобы сумма этих двух чисел в десятичной системе была кратна и 2, и 3, то есть одновременно делилась на оба числа. А так как наименьшее общее кратное 2 и 3 равно 6, это значит, что мы проверяем делимость на 6. При этом из всех подходящих пар нужно выбрать ту, у которой сумма наибольшая.

Чтобы перебрать все возможные комбинации, мы используем два вложенных цикла: внешний перебирает от 0 до 11, а внутренний перебирает от 1 до 11 (вероятно, не должен быть равен нулю, так как по условию это ограничено диапазоном). Для каждой пары проверяем, что , так как они должны быть разными. Далее переводим каждое число в десятичную систему. Например, раскладывается по степеням 12 так: . Аналогично, даёт . Эти выражения позволяют получить обычные целые числа в Python. Затем мы проверяем условие делимости суммы на 2 и на 3 с помощью операторов (m + n) % 2 == 0 и (m + n) % 3 == 0. Если оба условия выполняются, то сравниваем сумму с текущим максимумом mx. Если она больше, обновляем максимум и выводим найденную пару в формате str(x) + str(y), то есть в виде строки без пробелов и разделителей. В итоге программа находит и печатает пару и с наибольшей суммой, удовлетворяющую условию.

mx = 0  # Переменная для хранения текущей максимальной суммы x + y
for x in range(12):  # Перебираем все возможные значения x от 0 до 11
    for y in range(1, 12):  # Перебираем все возможные значения y от 1 до 11
        if x != y:  # Проверяем, что x и y — разные цифры
            # Переводим число $y5x5_{12}$ в десятичную систему
            m = y * 12**3 + 5 * 12**2 + x * 12**1 + 5
            # Переводим число $3x6y_{12}$ в десятичную систему
            n = 3 * 12**3 + x * 12**2 + 6 * 12**1 + y
            # Проверяем делимость суммы m + n на 2 и на 3
            if (m + n) % 2 == 0 and (m + n) % 3 == 0 and x + y > mx:
                # Обновляем максимум, если сумма x + y больше текущей
                mx = x + y
                # Выводим пару x и y без пробелов
                print(str(x) + str(y))

В задаче нам даны два числа и , записанные в 16-ричной системе счисления, причём в их записи используется символ x, который обозначает неизвестную цифру из алфавита шестнадцатеричной системы: от 0 до 9 и от a до f (где a — это 10, b — 11, ..., f — 15). Нам нужно перебрать все возможные значения x, вычислить сумму этих чисел в десятичной системе счисления и найти наименьшее x, при котором сумма делится на 15 без остатка. В коде мы начинаем с создания строки alf, которая содержит все возможные символы шестнадцатеричной системы в порядке возрастания. Затем запускаем цикл for x in alf:, в котором поочерёдно подставляем каждую возможную цифру x. Чтобы получить первое число в десятичной системе, мы берём строку ’1678’, прибавляем к ней текущий символ x и затем прибавляем ’12’, получая, например, ’1678a12’ при x = ’a’. Эту строку передаём в функцию int(..., 16), которая преобразует 16-ричную запись числа в десятичное значение. Аналогично формируем второе число: ’1’ + x + ’024’. После преобразования в десятичные числа получаем переменные s1 и s2. Складываем их и результат сохраняем в s. Далее проверяем, делится ли эта сумма на 15, используя условие if s % 15 == 0 (знак % вычисляет остаток от деления). Если условие выполняется, выводим текущее значение x с помощью print(x). Поскольку перебор идёт в порядке от 0 до f, первое выведенное значение x и будет минимальным подходящим.

# Создаём строку с цифрами и буквами шестнадцатеричной системы счисления
alf = "0123456789abcdef"

# Перебираем все возможные символы x из алфавита 16-ричной системы
for x in alf:
    # Формируем первое число $1678x12_{16}$ как строку, подставляя текущий символ x
    # и сразу преобразуем его в десятичную систему с помощью int(..., 16)
    s1 = int(’1678’ + x + ’12’, 16)

    # Формируем второе число $1x024_{16}$, подставляя текущий символ x
    # и также переводим его в десятичную систему
    s2 = int(’1’ + x + ’024’, 16)

    # Находим сумму двух полученных десятичных чисел
    s = s1 + s2

    # Проверяем, делится ли сумма на 15 без остатка
    if s % 15 == 0:
        # Если делится, выводим текущее значение x
        print(x)

Даны два числа в шестнадцатеричной системе счисления: и , где x — неизвестная цифра из алфавита 16-ричной системы (0–15). Наша задача — найти наименьшее значение x, при котором сумма этих чисел кратна 15. Для решения задачи мы используем полный перебор возможных значений x, подставляя каждое поочерёдно. Сначала создаём вспомогательную функцию to_16(x), которая преобразует десятичное число x в строковое шестнадцатеричное представление. Для этого мы последовательно берём остаток от деления числа на 16 (x % 16), определяем соответствующий символ из алфавита 0123456789ABCDEF и добавляем его в начало строки, после чего делим x на 16 для перехода к следующему разряду. Эта функция нужна, чтобы в конце можно было работать с шестнадцатеричной записью результата. Другая вспомогательная функция to_10(num, i) предназначена для вычисления десятичного значения трёхзначного числа, где i — неизвестная цифра. Сначала число num приводим к строке, затем формируем целое число, комбинируя i с фиксированной цифрой, и вычисляем десятичное значение через разложение по степеням основания системы: каждая цифра умножается на соответствующую степень i и суммируется.

Далее в основном цикле мы перебираем все возможные значения x от 0 до 9 (for i in ’0123456789’), подставляем их в соответствующие позиции в исходных числах, преобразуем полученные строки в десятичные числа с помощью int(строка, 16), суммируем их и корректируем результат с помощью вызовов вспомогательных функций и логарифма, если это требуется по алгоритму. После вычислений проверяем, является ли результат целым числом (if int(w) == w). Если условие выполняется, преобразуем результат обратно в шестнадцатеричную строку с помощью to_16(int(w)) и считаем количество цифр F, что даёт дополнительную информацию о корректности подстановки x. Таким образом, перебором всех вариантов мы находим минимальное значение x, удовлетворяющее условию делимости суммы на 15.

from math import log

# Функция преобразования числа из десятичной системы в шестнадцатеричную строку
def to_16(x):
    alf = ’0123456789ABCDEF’  # Алфавит шестнадцатеричной системы
    s = ’’  # Пустая строка для накопления результата
    while x > 0:
        # Берём остаток от деления на 16, чтобы получить последнюю цифру в шестнадцатеричной системе
        s = alf[x % 16] + s  # Добавляем символ в начало строки
        x = x // 16  # Делим число на 16 для перехода к следующему разряду
    return s

# Функция для преобразования трёхзначного числа с неизвестной цифрой i в десятичное
def to_10(num, i):
    num = str(num)  # Преобразуем число в строку для доступа к отдельным цифрам
    i = int(i + ’6’)  # Комбинируем i с ’6’ и преобразуем в целое число
    # Вычисляем десятичное значение числа через разложение по степеням основания
    return int(num[0]) * i**2 + int(num[1]) * i + int(num[2])

# Перебираем все возможные значения x от 0 до 9
for i in ’0123456789’:
    # Формируем и суммируем различные числа с подставленной цифрой i
    w = int(’11’ + i + ’793’, 20) + int(’B’ + i + ’7’ + i + ’3’, 20) - \
        to_10(111, i) + log(int(’2’ + i + ’6’), 2)
    # Проверяем, является ли результат целым числом
    if int(w) == w:
        # Если да, преобразуем результат в шестнадцатеричную строку и считаем количество ’F’
        print(to_16(int(w)).count(’F’))

В этой задаче нам даны два числа в 7-ричной системе счисления с неизвестной цифрой x: и . Наша цель — определить наименьшее значение x, при котором сумма этих чисел кратна 91. Для этого мы создаём строку с символами алфавита 7-ричной системы "0123456"и перебираем каждый символ как возможное значение x. Для каждого x мы формируем полное число в виде строки: для первого числа соединяем ’1213’, текущий x и ’6’, а для второго — ’51’, текущий x и ’431’. С помощью функции int мы преобразуем эти строки в десятичные числа, указывая основание 7, чтобы корректно интерпретировать каждую цифру по степеням 7. После перевода чисел в десятичную систему мы суммируем их, получая s = s1 + s2. Далее проверяем, делится ли эта сумма на 91 с помощью условия if s % 91 == 0. Если делится, мы выводим частное от деления суммы на 91 через print(s // 91). Поскольку мы перебираем значения x начиная с наименьшего и сразу останавливаемся на первом подходящем, найденное значение x автоматически будет наименьшим, удовлетворяющим условию.

# Создаём строку с возможными цифрами 7-ричной системы счисления
alf = "0123456"

# Перебираем все возможные значения x из алфавита
for x in alf:
    # Формируем первое число $1213x6_{7}$ в виде строки и переводим его в десятичную систему
    s1 = int(’1213’ + x + ’6’, 7)
    # Формируем второе число $51x431_{7}$ в виде строки и переводим его в десятичную систему
    s2 = int(’51’ + x + ’431’, 7)
    # Суммируем полученные десятичные числа
    s = s1 + s2
    # Проверяем, делится ли сумма на 91
    if s % 91 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления на 91
        print(s // 91)
        # Прерываем цикл, так как найдено наименьшее подходящее значение x
        break

В данной задаче мы имеем два числа в 26-ричной системе счисления: и , где x и y — неизвестные цифры из алфавита 26-ричной системы (0–25). Наша цель — найти наибольшее значение x, при котором сумма этих чисел кратна 8 при любом значении y. Сначала мы создаём функцию getNumber(x, y), которая вычисляет десятичное значение суммы чисел для заданных x и y. Для этого каждую цифру числа умножаем на соответствующую степень 26 в соответствии с её разрядом: для это , а для это . Складывая эти выражения, мы получаем десятичное значение суммы для конкретных x и y.

Далее мы перебираем все возможные значения x от 25 до 1 в порядке убывания (for x in range(25, 0, -1)), чтобы найти наибольший x, удовлетворяющий условию. Для каждого x мы предполагаем, что оно может быть корректным, и устанавливаем флаг valid = True. Затем перебираем все возможные значения y от 0 до 25 (for y in range(0, 26)) и проверяем, делится ли сумма getNumber(x, y) на 8 (getNumber(x, y) % 8 != 0). Если для хотя бы одного y сумма не делится на 8, флаг valid обнуляется, и мы прекращаем проверку для этого x, переходя к следующему. Когда мы находим x, для которого сумма делится на 8 при любом y, мы вычисляем частное от деления суммы на 8 для y = 2 (getNumber(x, 2) // 8) и выводим его. Этот подход гарантирует, что найденное x — максимальное возможное, удовлетворяющее всем условиям, а вычисленное частное соответствует конкретному значению y.

# Функция для вычисления десятичного значения суммы чисел $13yx5_{26} + 24y13_{26}$ при заданных x и y
def getNumber(x, y):
    # Вычисляем десятичное значение первого числа: 1*26̂4 + 3*26̂3 + y*26̂2 + x*26 + 5
    # Вычисляем десятичное значение второго числа: 2*26̂4 + 4*26̂3 + y*26̂2 + 1*26 + 3
    return 26 ** 4 + 3 * 26 ** 3 + y * 26 ** 2 + x * 26 + 5 + \
           2 * 26 ** 4 + 4 * 26 ** 3 + y * 26 ** 2 + 1 * 26 + 3

# Перебираем все возможные значения x от 25 до 1, чтобы найти наибольшее
for x in range(25, 0, -1):
    valid = True  # Предполагаем, что x корректно подходит для всех y
    # Проверяем делимость суммы на 8 для всех значений y от 0 до 25
    for y in range(0, 26):
        if getNumber(x, y) % 8 != 0:  # Если сумма не делится на 8 для какого-то y
            valid = False  # Отмечаем x как недопустимое
            break  # Прерываем проверку для этого x
    # Если x подходит для всех y, выводим частное от деления суммы на 8 при y = 2
    if valid:
        print(getNumber(x, 2) // 8)
        break  # Прекращаем поиск, так как найден максимальный x

В этой задаче нам дано число X в десятичной системе, которое частично известно в других системах счисления: , и , где * обозначает утерянные символы. Наша цель — определить X, используя информацию о совпадении цифр в различных системах. Для этого мы создаём вспомогательную функцию fr(num), которая преобразует десятичное число num в строковое представление в четверичной системе счисления. Внутри функции мы используем цикл while, где на каждом шаге берём остаток от деления числа на 4 (n % 4) для получения младшего разряда и добавляем его в начало строки t, после чего делим n на 4 для перехода к следующему разряду. Эта функция позволяет сравнивать конкретные позиции цифр числа в четверичной системе.

Основной алгоритм заключается в переборе всех возможных чисел X от 0 до некоторого верхнего предела (здесь 5000). Для каждого X мы получаем его шестнадцатеричное (hex(x)[2:]), восьмеричное (oct(x)[2:]) и четверичное (fr(x)) представления и проверяем соответствие известным позициям: средняя цифра в шестнадцатеричной записи равна ’3’, первая и последняя цифры в восьмеричной записи равны ’4’ и ’1’ соответственно, а последняя цифра в четверичной записи равна ’1’. Если все условия выполняются одновременно, это означает, что найдено число X, удовлетворяющее всем системам счисления, и мы его выводим.

# Функция для преобразования числа из десятичной системы в четверичную строку
def fr(num):
    n = num  # Сохраняем исходное число в отдельной переменной
    t = ’’   # Строка для накопления результата
    while n > 0:
        # Берём остаток от деления на 4, чтобы получить младший разряд в четверичной системе
        t = str(n % 4) + t  # Добавляем цифру в начало строки
        n = n // 4          # Делим число на 4 для перехода к следующему разряду
    return t

# Перебор всех возможных чисел X от 0 до 4999
for x in range(5000):
    hx = hex(x)[2:]  # Получаем шестнадцатеричное представление числа в виде строки, без префикса ’0x’
    ot = oct(x)[2:]  # Получаем восьмеричное представление числа в виде строки, без префикса ’0o’
    f = fr(x)        # Получаем четверичное представление числа в виде строки
    # Проверяем соответствие известным цифрам во всех системах
    if (len(hx) == 3 and hx[1] == ’3’  # Средняя цифра в шестнадцатеричной записи равна ’3’
            and len(ot) == 3 and ot[0] == ’4’ and ot[2] == ’1’  # Первая и последняя цифры в восьмеричной записи
            and len(f) == 5 and f[-1] == ’1’):  # Последняя цифра в четверичной записи равна ’1’
        print(x)  # Если все условия выполняются, выводим найденное число X

В данной задаче нам даны два числа с неизвестной цифрой x в 16-ричной системе счисления: и . Необходимо найти наименьшее значение x, при котором сумма цифр значения выражения, записанного в 7-ричной системе, равна 34, и затем вывести значение выражения в десятичной системе. Для решения мы используем полный перебор возможных значений x из алфавита 16-ричной системы ’0123456789abcdef’. Для каждого символа x мы формируем строки чисел: для первого числа соединяем ’9ac’, x и ’36’, для второго — ’5cd’, x и ’da’. Затем с помощью функции int с основанием 16 преобразуем эти строки в десятичные числа, чтобы можно было выполнить арифметические операции в Python. Далее суммируем эти два числа, получая s = s1 + s2. После этого с помощью функции n7 переводим полученную сумму в 7-ричную систему, формируя строку цифр, и применяем функцию summ, которая последовательно складывает все цифры числа, используя цикл while: пока n больше нуля, прибавляем остаток от деления на 10 к сумме и делим n на 10, чтобы перейти к следующей цифре. После вычисления суммы цифр проверяем условие if summ(int(n7(int(s)))) == 34. Если оно выполняется, выводим значение суммы в десятичной системе через print(s). Поскольку мы перебираем x начиная с наименьшего и выводим результат сразу при первом успешном условии, найденное значение x будет минимальным.

# Функция для подсчёта суммы цифр числа n в десятичной системе
def summ(n):
    s = 0
    # Пока число больше нуля
    while n > 0:
        # Прибавляем к сумме последнюю цифру числа
        s += n % 10
        # Убираем последнюю цифру из числа
        n //= 10
    return s

# Функция для перевода числа n в 7-ричную систему и возвращения в виде строки
def n7(n):
    a = ’’
    # Пока число больше нуля
    while n > 0:
        # Добавляем остаток от деления на 7 в начало строки
        a = str(n % 7) + a
        # Делим число на 7, чтобы перейти к следующей цифре
        n //= 7
    return a

# Строка с возможными цифрами 16-ричной системы
alf = ’0123456789abcdef’

# Перебираем все возможные значения x
for x in alf:
    # Формируем первое число $9ACx36_{16}$ в виде строки и переводим в десятичную систему
    s1 = int(’9ac’ + x + ’36’, 16)
    # Формируем второе число $5CDxDA_{16}$ в виде строки и переводим в десятичную систему
    s2 = int(’5cd’ + x + ’da’, 16)
    # Суммируем оба числа
    s = s1 + s2
    # Переводим сумму в 7-ричную систему и вычисляем сумму её цифр
    if summ(int(n7(int(s)))) == 34:
        # Если сумма цифр равна 34, выводим значение суммы в десятичной системе
        print(s)

В данной задаче нам даны два числа в 11-ричной системе счисления с неизвестной цифрой x: и . Наша цель — найти наименьшее значение x, при котором сумма этих чисел кратна 19, а затем вычислить частное от деления суммы на 19 для найденного x. Для решения задачи мы используем перебор всех возможных значений x от 1 до 10, так как в 11-ричной системе цифры принимают значения от 0 до 10. Для каждого x мы вычисляем десятичное значение первого числа через разложение по степеням 11: старшая цифра умножается на , следующая на с учётом x, и так далее до младшей цифры. Аналогично вычисляется второе число через разложение по степеням 11, где x умножается на , 5 на , 7 на , и 8 на . Далее мы суммируем полученные десятичные значения a и b, получая res = a + b. Проверка кратности 19 выполняется с помощью условия if res % 19 == 0. Если условие выполняется, мы выводим частное от деления суммы на 19 через print(res // 19) и прерываем цикл с помощью break, чтобы получить наименьшее x, удовлетворяющее условию. Таким образом, алгоритм последовательно проверяет каждое возможное значение x, переводит числа в десятичную систему, суммирует их и проверяет условие кратности на каждом шаге, обеспечивая нахождение минимального x и соответствующего частного от деления на 19.

# Перебираем все возможные значения x от 1 до 10, так как в 11-ричной системе цифры от 0 до 10
for x in range(1, 11):
    # Вычисляем десятичное значение первого числа $3x5632_{11}$
    s1 = 3*11**5 + x*11**4 + 5*11**3 + 6*11**2 + 3*11 + 2
    # Вычисляем десятичное значение второго числа $x578_{11}$
    s2 = x*11**3 + 5*11**2 + 7*11 + 8
    # Проверяем, делится ли сумма на 19
    if (s1 + s2) % 19 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления суммы на 19
        print((s1 + s2) // 19)
        # Прерываем цикл, чтобы получить наименьшее x
        break

В данной задаче нам даны два числа в 9-ричной системе счисления с неизвестной цифрой x: и . Наша цель — найти такое значение x, при котором сумма этих чисел кратна 23. Для решения задачи мы перебираем все возможные значения x от 2 до 8, так как в 9-ричной системе цифры могут принимать значения от 0 до 8, а для выбранного диапазона учтены только подходящие варианты, чтобы избежать тривиальных и заведомо не подходящих значений. Для каждого x мы вычисляем десятичное значение первого числа через разложение по степеням 9: старшая цифра умножается на , следующая на , x умножается на , далее каждая цифра по порядку умножается на соответствующую степень 9 до младшей цифры. Аналогично вычисляется второе число через разложение по степеням 9, где x умножается на , 3 на , 4 на , 3 на и 4 на . Затем мы суммируем полученные десятичные значения s1 и s2, получая res = s1 + s2. Проверка кратности 23 выполняется с помощью условия if (s1 + s2) % 23 == 0. Если условие выполняется, мы выводим текущее значение x через print(x) и прерываем цикл с помощью break, чтобы получить первое (и единственное подходящее) значение x, удовлетворяющее условию. Таким образом, алгоритм последовательно перебирает возможные значения x, переводит числа в десятичную систему, суммирует их и проверяет кратность на каждом шаге, обеспечивая нахождение правильного x.

# Перебираем все возможные значения x от 2 до 8, чтобы найти подходящее в 9-ричной системе
for x in range(2, 9):
    # Вычисляем десятичное значение первого числа $11x2323_{9}$
    s1 = 9**6 + 9**5 + x*9**4 + 2*9**3 + 3*9**2 + 2*9 + 3
    # Вычисляем десятичное значение второго числа $22x3434_{9}$
    s2 = 2*9**6 + 2*9**5 + x*9**4 + 3*9**3 + 4*9**2 + 3*9 + 4
    # Проверяем, делится ли сумма на 23
    if (s1 + s2) % 23 == 0:
        # Если делится, выводим текущее значение x
        print(x)
        # Прерываем цикл, так как найдено первое подходящее значение
        break

В задаче даны два числа в различных системах счисления: уменьшаемое и вычитаемое . Переменные x и y обозначают неизвестные цифры в соответствующих системах счисления, причём каждая из них может принимать любое допустимое для своей системы значение, но при этом x и y не могут быть равны. Нам требуется найти такую комбинацию этих цифр, при которой сумма цифр результата вычитания, записанного в девятиричной системе счисления, будет максимальной. Алгоритм начинается с того, что мы создаём переменную mx, которая будет хранить найденное на текущий момент максимальное значение суммы цифр. Далее мы перебираем все возможные значения x с помощью цикла for x in range(31), так как в 31-ричной системе счисления цифры могут принимать значения от 0 до 30 включительно. Для каждого значения x мы запускаем вложенный цикл for y in range(17), перебирающий все возможные значения y от 0 до 16 включительно, так как y находится в числе в 17-ричной системе. Перед выполнением вычислений мы проверяем условие if x != y, чтобы исключить варианты, когда цифры x и y совпадают.

Далее мы переводим каждое число из своей системы счисления в десятичную. Для это делается разложением числа по степеням : . Аналогично переводим в десятичную систему: . После этого находим разность этих чисел: s = s1 - s2. Теперь нам нужно вычислить сумму цифр этого результата в девятиричной системе счисления. Для этого мы создаём переменную d = 0 и запускаем цикл while s > 0, где на каждой итерации прибавляем к d последнюю цифру числа в девятиричной записи, полученную как s % 9, а затем удаляем эту цифру, выполняя целочисленное деление s = s // 9. Когда сумма цифр вычислена, мы сравниваем её с текущим максимальным значением mx и при необходимости обновляем mx, используя mx = max(d, mx). После перебора всех возможных пар значений x и y в mx будет храниться максимальная возможная сумма цифр, которую мы выводим с помощью print(mx).

mx = 0
# Изначально максимальная сумма цифр равна 0
# Перебираем все возможные значения x в 31-ричной системе счисления (от 0 до 30)
for x in range(31):
    # Перебираем все возможные значения y в 17-ричной системе счисления (от 0 до 16)
    for y in range(17):
        # Проверяем, что x и y не равны
        if x != y:
            # Переводим уменьшаемое $35x76x_{31}$ в десятичную систему
            s1 = 3 * 31**5 + 5 * 31**4 + x * 31**3 + 7 * 31**2 + 6 * 31 + x
            # Переводим вычитаемое $11y4y_{17}$ в десятичную систему
            s2 = 17**4 + 17**3 + y * 17**2 + 4 * 17 + y
            # Находим разность двух чисел
            s = s1 - s2
            # Переменная для хранения суммы цифр в девятиричной записи
            d = 0
            # Вычисляем сумму цифр числа в девятиричной системе
            while s > 0:
                d += s % 9  # Прибавляем последнюю цифру (остаток от деления на 9)
                s = s // 9  # Убираем последнюю цифру (целочисленное деление на 9)
            # Обновляем максимальное найденное значение суммы цифр
            mx = max(d, mx)
# Выводим максимальную сумму цифр
print(mx)

В задаче даны два числа в -ричной системе счисления: и . В записи этих чисел встречается переменная x, которая может принимать любое целое значение от 0 до 120, так как цифры в -ричной системе счисления могут быть в этом диапазоне. Требуется найти такие значения x, при которых сумма этих двух чисел, переведённых в десятичную систему, будет кратна 17. Для каждого найденного значения x нужно вычислить частное от деления суммы на 17, а затем найти сумму всех этих частных.

Алгоритм начинается с создания переменной ans = 0, которая будет накапливать итоговую сумму частных. Далее перебираем все возможные значения x с помощью цикла for x in range(121). На каждой итерации сначала переводим первое число в десятичную систему, используя разложение по степеням : . Аналогично переводим второе число : . После перевода в десятичную систему складываем их: s1 + s2. Проверяем, делится ли эта сумма на 17, используя условие (s1 + s2) % 17 == 0. Если условие выполняется, то добавляем к переменной ans целое частное от деления этой суммы на 17, полученное с помощью (s1 + s2) // 17. После окончания перебора всех значений x выводим содержимое ans — это и будет искомая сумма частных.

ans = 0
# Переменная для накопления суммы частных
# Перебираем все возможные значения x в $121$-ричной системе (от 0 до 120)
for x in range(121):
    # Переводим первое число $561x4_{121}$ в десятичную систему
    s1 = 5*121**4 + 6*121**3 + 1*121**2 + x*121 + 4
    # Переводим второе число $1x290_{121}$ в десятичную систему
    s2 = 1*121**4 + x*121**3 + 2*121**2 + 9*121
    # Проверяем, делится ли сумма этих чисел на 17
    if (s1 + s2) % 17 == 0:
        # Если делится, добавляем к ans частное от деления суммы на 17
        ans += (s1 + s2) // 17
# Выводим итоговую сумму частных
print(ans)

Решение программой:

У нас есть два числа в 16-ричной системе счисления, каждое из которых содержит неизвестную цифру x. Первое число — , второе — . Поскольку x — это цифра из алфавита шестнадцатеричной системы, она может принимать значения от 0 до 15, причём в шестнадцатеричном формате это символы от ’0’ до ’9’ и от ’a’ до ’f’. Чтобы перебрать все возможные варианты, мы создаём строку alf = ’0123456789abcdef’ , где каждая позиция соответствует одной возможной цифре x. Далее используем цикл for x in alf:, чтобы поочерёдно подставить каждую цифру в выражения. Для вычисления десятичного значения числа с подставленным x применяем встроенную функцию int(), которая может преобразовать строку, представляющую число в определённой системе счисления, в десятичное число. Мы формируем строку первого числа как ’1587’ + x + ’99’, где ’1587’ и ’99’ — неизменные фрагменты исходного числа, а x подставляется на своё место. Аналогично для второго числа формируем ’1’ + x + ’048’. Указываем вторым аргументом в int() число 16, чтобы указать основание системы счисления. После этого получаем два десятичных значения, которые сохраняем в переменные s1 и s2, а затем находим их сумму s = s1 + s2. Теперь проверяем, делится ли сумма на 13 с помощью условия if s % 13 == 0 (символ % возвращает остаток от деления). Если делится, то мы нашли минимальное x, так как перебор идёт от наименьшей возможной цифры, и в этом случае выводим найденное значение print(x) и прерываем цикл с помощью break. Это гарантирует, что программа завершится сразу после нахождения минимального подходящего x.

# Задаём алфавит шестнадцатеричной системы счисления:
# цифры 0–9 и буквы a–f, что соответствует значениям 0–15
alf = "0123456789abcdef"

# Перебираем все возможные значения x по порядку от ’0’ до ’f’
for x in alf:
    # Формируем строку первого числа $1587x99_{16}$,
    # подставляя текущий символ x на нужное место
    # и преобразуем в десятичное число
    s1 = int(’1587’ + x + ’99’, 16)

    # Аналогично формируем второе число $1x048_{16}$
    # и переводим его в десятичную систему
    s2 = int(’1’ + x + ’048’, 16)

    # Складываем оба полученных числа
    s = s1 + s2

    # Проверяем, делится ли сумма на 13 (остаток от деления равен 0)
    if s % 13 == 0:
        # Если делится, выводим найденное значение x
        print(x)
        # Прерываем цикл, так как нужно найти минимальное x
        break

В задаче даны два числа в разных системах счисления: первое число , а второе — . В записи каждого числа вместо x стоит неизвестная цифра, которую мы должны определить. Из условия следует, что x — это цифра из алфавита 5-ричной системы счисления, значит, она может принимать целые значения от 0 до 4. Мы должны перебрать все такие значения x и найти наибольшее, при котором сумма этих двух чисел в десятичной системе счисления делится на 7 без остатка. После этого для найденного значения x требуется вычислить частное от деления суммы на 7 и вывести его в ответ.

Для перебора всех возможных значений x мы используем цикл for x in range(5). На каждой итерации цикла формируем строковое представление первого числа, подставляя текущее значение x между "5"и "46". Это делается через конкатенацию строк "5"+ str(x) + "46". Так как число в системе счисления с основанием 7, мы используем функцию int(..., 7), чтобы преобразовать строку в десятичное число с правильной интерпретацией разрядов. Аналогично, для второго числа формируем строку "12"+ str(x) + "1"и преобразуем её в десятичное число, но уже с основанием 5. Далее складываем оба полученных десятичных числа и проверяем, делится ли их сумма на 7, используя условие if ( ... ) % 7 == 0, где % — это оператор получения остатка от деления. Если условие выполняется, значит, текущее значение x подходит. Поскольку нас интересует не просто проверка, а и вычисление частного от деления суммы на 7, мы сразу используем оператор // для целочисленного деления и выводим результат с помощью print(...).

# Перебираем все возможные значения x в диапазоне от 0 до 4 (цифры 5-ричной системы)
for x in range(5):
    # Преобразуем первое число $5x46_{7}$:
    # склеиваем строку из "5", текущего значения x и "46", затем переводим её в десятичное число из системы с основанием 7
    first_num = int("5" + str(x) + "46", 7)
    # Преобразуем второе число $12x1_{5}$:
    # склеиваем строку из "12", текущего значения x и "1", затем переводим её в десятичное число из системы с основанием 5
    second_num = int("12" + str(x) + "1", 5)
    # Складываем полученные десятичные значения
    total = first_num + second_num
    # Проверяем, делится ли сумма на 7 (остаток от деления на 7 должен быть равен 0)
    if total % 7 == 0:
        # Если условие выполняется, выводим целое частное от деления суммы на 7
        print(total // 7)

Решение программой:

В условии даны два числа в 12-ричной системе счисления: и , где x — это неизвестная цифра, которую мы должны подобрать. Алфавит 12-ричной системы состоит из символов от 0 до 9 и букв a, b, где a обозначает 10, а b — 11. Так как x может быть любой цифрой из этого алфавита, мы создаём строку ’0123456789ab’ и с помощью цикла for x in a: перебираем все её символы. Для каждого значения x мы формируем строковое представление первого числа: ’a9’ + x + ’64’. Здесь мы используем операцию конкатенации строк (+), чтобы вставить текущий символ x между частями числа. Получившаяся строка, например, ’a9064’ при x = ’0’, затем преобразуется в целое число из 12-ричной системы с помощью функции int(..., 12). Аналогично строим второе число ’1’ + x + ’00a’, где снова конкатенируем части числа и преобразуем в десятичную систему через int(..., 12). После этого складываем оба результата, получая сумму в переменной (s1 + s2). Далее проверяем, делится ли эта сумма на 11, используя условие if (s1 + s2) % 11 == 0, где оператор % вычисляет остаток от деления на 11. Если условие выполняется, то мы выводим частное от деления (s1 + s2) // 11 с помощью функции print(). Так как в условии требуется наименьшее значение x, удовлетворяющее условию, первый найденный вариант сразу даст правильный результат, так как мы перебираем x в порядке возрастания по алфавиту 12-ричной системы.

# Задаём алфавит 12-ричной системы счисления: от 0 до 9, затем a=10, b=11
a = ’0123456789ab’
# Перебираем все возможные значения x из алфавита
for x in a:
    # Формируем первое число $A9x64_{12}$ как строку и переводим в десятичную систему
    s1 = int(’a9’ + x + ’64’, 12)
    # Формируем второе число $1x00A_{12}$ как строку и переводим в десятичную систему
    s2 = int(’1’ + x + ’00a’, 12)
    # Проверяем, делится ли сумма чисел на 11
    if (s1 + s2) % 11 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления суммы на 11
        print((s1 + s2) // 11)

Решение программой:

Даны два числа в -ричной системе счисления: и , в которых символ x обозначает неизвестную цифру из алфавита этой системы. Поскольку основание больше , то цифры от и выше обозначаются буквами латинского алфавита: a соответствует , b — , и так далее до k, которая обозначает . Мы знаем, что x может быть любой из этих цифр от 0 до k, и для перебора всех возможных значений удобно создать строку с символами 0123456789abcdefghijk. Затем мы организуем цикл for x in a, который на каждой итерации подставляет одну из этих возможных цифр вместо x в оба числа. Чтобы преобразовать числа из -ричной записи в десятичную, мы используем встроенную функцию int(строка, 21), где строка — это текстовое представление числа в -ричной системе. Например, при x = ’5’ первое число формируется как ’abc1’ + x + ’0’, то есть получается строка ’abc150’, и преобразуется в десятичную систему как int(’abc150’, 21). Аналогично, второе число формируется как ’d’ + x + ’98’ и тоже переводится в десятичное значение через int. После получения обоих чисел мы находим их сумму s1 + s2 и проверяем, делится ли она на 65, выполняя проверку if (s1 + s2) % 65 == 0. Если условие выполняется, значит, текущая цифра x подходит, и мы выводим результат деления суммы на 65 при помощи (s1 + s2) // 65. Поскольку перебор значений x идёт от наименьшего возможного, первый найденный результат будет соответствовать минимальному значению x, которое удовлетворяет условию задачи.

# Определяем алфавит 21-ричной системы счисления: от 0 до 9, затем a=10, b=11 и т.д., k=20
a = "0123456789abcdefghijk"

# Перебираем все возможные значения x из алфавита системы
for x in a:
    # Формируем строку первого числа $ABC1x0_{21}$, подставляя текущее значение x
    # Затем переводим её в десятичное число функцией int(строка, 21)
    s1 = int("abc1" + x + "0", 21)

    # Формируем строку второго числа $Dx98_{21}$ с подставленным значением x
    # Также переводим в десятичную систему
    s2 = int("d" + x + "98", 21)

    # Проверяем, делится ли сумма чисел на 65
    if (s1 + s2) % 65 == 0:
        # Если делится, выводим частное от деления суммы на 65
        print((s1 + s2) // 65)