Тема Математический анализ

22 Производная по направлению. Градиент.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55375

Найти производную функции $u(x,y,z) = xy2 + z2 − xyz$ в точке $M (1,2,3)$ по направлению вектора $−→ l = (1,− 2,2 )$ и по направлению градиента в точке $M$

Показать ответ и решение

Для начала, сделаем наш вектор $−→ l$ единичной длины: $−→ -l−→-= √--1--(1,− 2,2) = (13, −32, 23) |l | 1+4+4$ .

Далее, нужно подсчитать $gradu(M )$ .

∂u-(M ) = (y2 − yz)(1,2,3) = 4 − 6 = − 2 ∂x

∂u ---(M ) = (2xy − xz )(1,2,3) = 1 ∂y

∂u- ∂z (M ) = (2z − xy)(1,2,3 ) = 4

Значит,

gradu(M ) = (− 2,1,4)

Следовательно,

−→ 1- − 2 2- 4- D−→l u(M ) =< grad u(M ),v >= < (− 2,1,4),(3, 3 , 3) >= − 2− 2 + 8 = 3

А теперь найдём производную $u$ в точке $M$ по направлению градиента в точке $M$ : $grad u(M ) <grad u(M ),gradu(M )> Dgradu(M )u (M ) = < gradu(M ), |grad-u(M-)| >= ----|grad-u(M-)|-----=$
$= |gradu(M-)|2= |grad u(M )| = √21- |gradu(M )|$