.12 Тензоры.

Ясно, что нами определены однозначно - любую линейную функцию, в частности, линейный функционал, достаточно задать на базисных векторах - на остальных она определяется по линейности.

1. Линейная независимость. Пусть найдутся такие , что

Тогда подставим в левую и в правую часть базисный вектор (левая и правая часть - это функции, поэтому в них можно подставлять векторы):

Таким образом, подставляя всевозможные при мы получим, что обязательно все равны 0. Таким образом, если линейная комбинация наших функционалов равна нулевому функционалу, то такая линейная комбинация обязательно тривиальна.

2. Выразимость. Возьмем любой линейный функционал . Тогда мы утверждаем, что он выражается через базисные функционалы . С каким коэффициентами? А вот с какими. Давайте обозначим

Тогда утверждается, что

Действительно, проверим это. Пусть - любой вектор из . Пусть он так раскладывается по базису

Тогда подставим его в левую часть:

А теперь подставим в правую часть:

...

Значит и в правой части получится то же самое. То есть равен на любом векторе . Доказали.