Тема Линал и алгебра.

12 Тензоры.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60333

Показать, что операция опускания (и поднятия) индекса является композицией тензорного произведения с фиксированным тензором $gij$ (и, соответственно, $ij g$ ) и свёртки.

Показать ответ и решение

Действительно, рассмотрим, например, опускание первого верхнего индекса у тензора $T ij11,,......,,jipq$ при помощи тензора $gij$ . С одной стороны, по определению компоненты этого тензора после опускания $i1$ будут:

i,i2,...,ip gijT j1,...,jq

С другой стороны, если сначала умножить $T i1,...,ip j1,...,jq$ тензорно на $g ij$ , то это будет тензор типа $(p,q + 2)$ с компонентами:

i1,...,ip gijTj1,...,jq

Если же, далее, осуществить свёртку этого нового тензора по первому нижнему и первому верхнему индексу, то будем иметь тензор типа $(p− 1,q + 1)$ с компонентами

k,i2,...,ip gkjT j1,...,jq

Что и равно опусканию первого верхнего индекса, с точностью до переименования немого индекса суммирования $k$ на $i$ .

Для поднятия всё, разумеется, аналогично.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60334

Пусть $T ∈ T11(V )$ - тензор типа $(1,1)$ . Что будет результатом его свёртки по единственной паре индексов? Как эта операция связана с уже известной вам операцией на матрицах?

Показать ответ и решение

Фактически, на тензоры типа $(1,1)$ можно смотреть как на матрицы. То есть мы имеем дело с матрицей $A$ , коэффициенты которой можно записать в виде $i aj$ . Тогда по определению свёртки по её единственному верхнему и нижнему индексу, мы будем иметь:

cA = akk

где по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается суммирование. То есть

1 2 n cA = a1 + a2 + ...+ an = trA

Таким образом, свёртка тензора $(1,1)$ представляет собой операцию взятия следа. В конце получается тензор типа $(0,0)$ , то есть просто вещественное число.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#60335

Рассмотрим $V = ℝ3$ , пусть $e1,e2,e3$ - базис в $ℝ3$ .
Пусть компоненты тензора $3 3 T ∈ T2(ℝ )$ задаются формулой

T ijk = 2m lm

Пусть в $3 ℝ$ выбран новый базис, который связан со старым базисом матрицей перехода

( ) 1 0 0 || || C = ( 3 1 0 ) − 2 4 − 1

Найти компоненту $123 ˜T32$ в новом базисе.

Показать ответ и решение

Запишем тензорный закон для этой компоненты:

˜T123= d1d2d3 clcm ⋅T ijk 32 i j k3 2 lm

где $cij$ - компоненты матрицы $C$ , $dij$ - компоненты матрицы $D = C −1$ - соответствующая замене двойственного базиса в $V ∗$ .

Матрица $D = C −1$ будет иметь вид:

( ) | 1 0 0 | D = | − 3 1 0 | ( ) − 14 4 − 1

Осталось лишь посчитать по формуле $˜T123= d1d2d3clcm ⋅T ijk 32 i j k 32 lm$ .

Но, как вы видите, в этой формуле целых пять индексов суммирования - расписывать её в лоб будет очень долго, это получится очень большая сумма. И, что самое главное - мы проделаем лишнюю работу, которую мы сейчас с вами немного сократим за счёт наблюдений за элементами матриц $C$ и $D$ .

Даватйе заметим, что, во-первых, поскольку в первой строке матрицы $D$ только первый элемент отличен от нуля, то $i$ имеет смысл брать только равным 1 (при остальных $i$ число $d1i$ будет равна 0 и занулит всё слагаемое), а также поскольку в третьем столбце матрицы $C$ все элементы кроме третьего равны нулю, то имеет смысл брать $l$ лишь равным 3. По аналогичным соображениям, $j$ имеет смысл брать лишь равным 1 или 2. И, также заметим, что $m$ можно брать только равным 2 или 3.

Таким образом, будем иметь:

$1jk ˜T13223= d11d2jd3kc33cm2 ⋅T3m$

Далее, поскольку $d11 = 1,c33 = − 1$ , то это последнее равенство можно переписать:

$˜123 1 2 3 3 m 1jk 2 3 m 1jk T 32 = d1djdkc3c2 ⋅T3m = − djdkc2 ⋅T 3m$

Где, как и всегда, подразумевается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам.

Заметим, что $T13jmk$ не зависит от индексов $jk$ , поэтому его можно просто вынести как общий множитель при каждых $j$ и $k$ - он по определению зависит только от второго нижнего индекса, т.е. от $m$ . Таким образом, будем иметь:

$123 1 2 3 3 m 1jk 2 3 m 1jk m 1jk 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ˜T32 = d1djdkc3c2 ⋅T3m = − djdkc2 ⋅T3m = − c2 ⋅T 3m (d1d1 + d2d1 + d1d2 + d2d2 + d 1d 3 + d2d3)$

Напомним, $k$ мы в сумме брали любым, а вот $j$ только 1 или 2, поскольку $d2j$ при $j = 3$ равен нулю.

Осталось просуммировать по $m$ (как мы уже заметили, берём $m$ только равным 2 или 3):

cm2 ⋅T13jmk= c22T312jk + c32T13j3k= 1 ⋅4 + 4⋅6 = 28

(компоненты тензора мы вычисляли по данному нам условию $ijk Tlm = 2m$ )

Далее,

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 (d1d1 + d2d1 + d1d2 + d2d2 + d1d3 + d2d3) = 66

Таким образом, в конце концов имеем:

$˜123 1 2 3 3 m 1jk 2 3 m 1jk T32 = d1djdkc3c2 ⋅T3m = − djdkc2 ⋅T 3m = = − cm ⋅T 1jk(d2d3 + d2d3+ d2d3 + d2d3+ d2d3 + d2d3) = − 28 ⋅66 = − 1848 2 3m 1 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#60336

Рассмотрим $V = ℝ3$ , пусть $e1,e2,e3$ - базис в $ℝ3$ .
Пусть компоненты тензора $0 3 T ∈ T3(ℝ )$ задаются формулой

Tijk = i+ j + k

Пусть задан фиксированный тензор $gij$ типа $(0,2)$ задан матрицей

( ) 1 3 5 || || G = ( 2 − 1 6) − 4 8 0

Найти компоненту $22 R 3$ тензора $R$ , получающего из тензора $T$ при помощи опускания третьего индекса с фиксированным тензором $gij$

Показать ответ и решение

По определению опускания индекса,

$R223 = gi3Ti22 = g13T122 + g23T 222 + g33T322 = 5 ⋅5+ 6⋅6 + 0⋅7 = 25 + 36 = 61$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#60337

Пусть $[,] : ℝ3 × ℝ3 → ℝ3$ - векторное произведение в $ℝ3$ . Пусть ${e1,e2,e3}$ - некоторый базис в $ℝ3$ . Показать, что набор чисел $k a ij$ , определенных правилом

[e ,e] = ake i j ij k

образует тензор (т.е. удовлетворяет тензорному закону).

Показать ответ и решение

Пусть $cij$ - коэффициенты матрицы перехода к некоторому другому базису ${e1′,e2′,e3′}$ , $dij$ - коэффициенты обратной к матрице перехода матрицы. Тогда какие бы базисные векторы в новом базисе $es′,ep′$ в новом базисе мы ни взяли, то, разложив их при помощи матрицы перехода по старому базису как $′ i es = cs′ei$ , $′ j ep = cp′ej$ , будем иметь:

[e′,e ′] = [ci′e ,cj′e ] s p s i p j

И в силу полилинейности векторного произведения, коэффициенты можно вынести за знак векторного произведения, а векторное произведение от суммы по каждому аргументу равно сумме векторных произведений:

$i j i j [es′,ep′] = [cs′ei,cp′ej] = cs′cp′[ei,ej]$

Далее, в силу того, что нам дано $[ei,ej] = akijek$ , продолжаем:

$i j i j i j k [es′,ep′] = [cs′ei,cp′ej] = cs′cp′[ei,ej] = cs′cp′aijek$

И вектор $ek$ при помощи обратной матрицы к матрице перехода выразим через новый базис как $ek = dt′e ′ k t$ .

В конце концов получаем:

$[es′,ep′] = [cis′ei,cjp′ej] = cis′cjp′[ei,ej] = cis′cjp′akijek = cis′cjp′akijdt′ket′$

Но, с другой стороны, по определению чисел $ak ij$ , имеем:

′ [es′,ep′] = ats′p′et′

Откуда

at′′′e′ = ci′cjak dt′e′ sp t s p′ ij k t

И слева и справа в нашем равенстве записаны некоторые линейные комбинации базисных векторов в новом базисе ( $e ′ t$ ). Но в силу того, что $e′ t$ - это базис, то если две линейные комбинации базиса равны, то коэффициенты этих линейных комбинаций совпадают (свойство единственности разложения по базису). Таким образом, будем иметь:

ats′′p′ = cis′cj′akijdt′k = cis′cj′dtk′akij p p

И мы получаем в точности тензорный закон для чисел $k aij$ . Следовательно, эти наборы чисел действительно являются тензором.

Ответ: