.12 Тензоры.

a) Первое, что нужно проверить - это то, что так определенный функционал - это действительно линейный функционал на .

Действительно, пусть - произвольные. - некоторый функционал такого вида, как в доказываемом утверждении (то есть соответствующий некоторому по указанному правилу). Тогда

То есть - аддитивный функционал на .

Пусть теперь - произвольный и - произвольное. Тогда

Значит, - однородный функционал на . Таким образом, мы проверили, что , определенный нами по указанному в условии правилу, всегда линеен.

Далее, проверим, что отображение

заданное правилом

- линейное отображение.

Пусть - произвольные. Тогда

Подействуем на произвольную и посмотрим, что получим

Таким образом, мы видим, что функционал на каждом функционале распадается в сумму . Следовательно, - аддитивно.

Далее, пусть - произвольный и - произвольный. Тогда

Подействуем на произвольную :

Таким образом, мы видим, что функционал на каждом функционале действует как . Следовательно, - однородно.

Таким образом, мы проверили, что наше отображение - линейно.

Но почему - это линейный изоморфизм между и ? Докажем, что - инъективно.

Пусть - тождественно нулевой функционал на . То есть для любого функционала выполнено

Но раз это выполнено для любого , то, в частности, это выполнено и для базисных функционалов из двойственного базиса в . А эти самые базисные функционалы, как мы помним, действуют так, что они отбирают ую координату вектора , разложенного по базису .

Таким образом, для каждого выполнено

Таким образом, все координаты вектора - нулевые в произвольном базисе. Следовательно, - нулевой вектор. таким образом, если какой-то вектор и отображает в нулевой функционал, то только лишь нулевой вектор. А это и значит, что , а, значит, - инъективно.

Теперь вспомним формулу, что для любого линейного отображения, а, значит, и для нашего , линейность которого мы уже проверили выше, выполнено

Однако как мы только что поняли, , а, кроме того, известно, что размерность двойственного пространства равна размерности исходного пространства, то есть

Но применяя это же утверждение теперь к двойственному пространству к , получим равенство

таким образом,

Следовательно, наша формула приобретает вид

Откуда мы получаем с необходимостью, что , а поскольку действует в пространство , чья размерность как раз таки и равна , то мы получаем, что - сюръекция.

Таким образом, - это линейная биекция, то есть линейный изоморфзим, что и требовалось доказать.

b) Заметим, что построенный нами линейный изоморфзим в пункте a) нигде не зависел от выбора базиса в и в . То есть отображение было построено без выбора базиса в и в . Такая ситуация в алгебре называется канонический изоморфизм.

Однако, неканонический изоморфизм было бы построить куда проще. Можно выбрать базис в , пусть он состоит из векторов

Однако нам известно, что , поэтому в тоже есть базис из каких-то функционалов, обзовем их . Тогда при фиксированных базисах в и в изоморфизм построить очень просто: определим

по правилу

а на остальные векторы пространства продолжим по линейности. Тогда, из теоремы о том, что пространства изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые размерности, сразу получим, что такое будет линейным изоморфизмом (потому что в доказательстве той теоремы мы делали в точности то же самое). Однако, такой изоморфизм уже никак нельзя назвать каноническим, потому что если мы теперь выберем другие базисы в и в , то отображение, аналогичное , будет уже другим. А вот изоморфизм из пункта a) останется ровно таким же самым.