.12 Тензоры.

a) Ясно, что отображение, определенное по правилу в условии

(где - пр-во линейных операторов )
будет линейным. Проверим, скажем, аддитивность .

Пусть , - два линейных оператора . Тогда

Причем этот тензор действует на произвольной паре по правилу

Но это последнее есть не что иное, как

(ведь так и действует сумма двух линейных операторов на вектор). Далее, в силу линейности :

Таким образом, тензор на каждой паре действует как сумма тензоров . То есть

Тем самым мы и проверили аддитивность . Однородность получается аналогично.

Следовательно, - линейно. Однако почему - линейный изоморфизм?

Проверим, что - инъективно, то есть ядро - тривиально. Итак, пусть - то есть тождественно нулевой тензор. То есть

Раз это верно для любой , то в частности это верно для функционалов двойственного базиса . А они, как мы помним, отбирают ую координату вектора.

Следовательно, для каждого выполнено

То есть каждая координата вектора равна нулю. То есть вектор - нулевой вектор.
А поскольку это выполнено еще и для любого , получаем, что - тождественно нулевой линейный оператор.

Значит, если какой-то оператор и лежит в ядре , то только нулевой.

Таким образом, - инъекция.

Теперь вспомним формулу, что для любого линейного отображения, а, значит, и для нашего , линейность которого мы уже проверили выше, выполнено

Но мы уже знаем, что Следовательно, наша формула приобретает вид

Откуда мы получаем с необходимостью, что , а поскольку действует в пространство , чья размерность как раз таки и равна , то мы получаем, что - сюръекция.

Таким образом, - это линейная биекция, то есть линейный изоморфзим, что и требовалось доказать.

b) Заметим, что построенный нами линейный изоморфзим в пункте a) нигде не зависел от выбора базиса в и в . То есть отображение было построено без выбора базиса в и в . Такая ситуация в алгебре называется канонический изоморфизм.

Однако, неканонический изоморфизм было бы построить куда проще. Можно выбрать базис в . Если , то , то есть этот базис состоит из векторов

Однако нам известно, что , то есть и в этом пространстве можно выбрать базис из тензоров . Тогда при фиксированных базисах в и в изоморфизм построить очень просто: определим

по правилу

а на остальные операторы пространства продолжим по линейности. Тогда, из теоремы о том, что пространства изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые размерности, сразу получим, что такое будет линейным изоморфизмом (потому что в доказательстве той теоремы мы делали в точности то же самое). Однако, такой изоморфизм уже никак нельзя назвать каноническим, потому что если мы теперь выберем другие базисы в и в , то отображение, аналогичное , будет уже другим. А вот изоморфизм из пункта a) останется ровно таким же самым.