.12 Тензоры.

Запишем тензорный закон для этой компоненты:

где - компоненты матрицы , - компоненты матрицы - соответствующая замене двойственного базиса в .

Матрица будет иметь вид:

Осталось лишь посчитать по формуле .

Но, как вы видите, в этой формуле целых пять индексов суммирования - расписывать её в лоб будет очень долго, это получится очень большая сумма. И, что самое главное - мы проделаем лишнюю работу, которую мы сейчас с вами немного сократим за счёт наблюдений за элементами матриц и .

Даватйе заметим, что, во-первых, поскольку в первой строке матрицы только первый элемент отличен от нуля, то имеет смысл брать только равным 1 (при остальных число будет равна 0 и занулит всё слагаемое), а также поскольку в третьем столбце матрицы все элементы кроме третьего равны нулю, то имеет смысл брать лишь равным 3. По аналогичным соображениям, имеет смысл брать лишь равным 1 или 2. И, также заметим, что можно брать только равным 2 или 3.

Таким образом, будем иметь:

Далее, поскольку , то это последнее равенство можно переписать:

Где, как и всегда, подразумевается суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам.

Заметим, что не зависит от индексов , поэтому его можно просто вынести как общий множитель при каждых и - он по определению зависит только от второго нижнего индекса, т.е. от . Таким образом, будем иметь:

Напомним, мы в сумме брали любым, а вот только 1 или 2, поскольку при равен нулю.

Осталось просуммировать по (как мы уже заметили, берём только равным 2 или 3):

(компоненты тензора мы вычисляли по данному нам условию )

Далее,

Таким образом, в конце концов имеем: