.12 Тензоры.

Пусть - коэффициенты матрицы перехода к некоторому другому базису , - коэффициенты обратной к матрице перехода матрицы. Тогда какие бы базисные векторы в новом базисе в новом базисе мы ни взяли, то, разложив их при помощи матрицы перехода по старому базису как , , будем иметь:

И в силу полилинейности векторного произведения, коэффициенты можно вынести за знак векторного произведения, а векторное произведение от суммы по каждому аргументу равно сумме векторных произведений:

Далее, в силу того, что нам дано , продолжаем:

И вектор при помощи обратной матрицы к матрице перехода выразим через новый базис как .

В конце концов получаем:

Но, с другой стороны, по определению чисел , имеем:

Откуда

И слева и справа в нашем равенстве записаны некоторые линейные комбинации базисных векторов в новом базисе (). Но в силу того, что - это базис, то если две линейные комбинации базиса равны, то коэффициенты этих линейных комбинаций совпадают (свойство единственности разложения по базису). Таким образом, будем иметь:

И мы получаем в точности тензорный закон для чисел . Следовательно, эти наборы чисел действительно являются тензором.