Тема Кривая производственных возможностей (КПВ)

04 КПВ - задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела кривая производственных возможностей (кпв)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57355

Великие стеклодувы Адриан, Бенни и Вальдемар выдувают из стекла, общий запас которого равен 16, три вида фигурок: икс( $x$ ), игрек( $y$ ) и дзет( $z$ ).

Технология производства фигурок представлена в таблице:


Стеклодув	$ax$	$ay$	$az$

Андриан	1	2	4

Бенни	1	4	2

Вальдемар	2	1	4

где $ai$ – количество единиц $i$ -го типа фигурок, которое способен изготовить стеклодув из 1 единицы стекла.

а) Выведите уравнение КПВ цеха, считая, что стекло можно распределить в любой пропорции между работниками.

б) Известно, что КПВ соседнего цеха описывается уравнением $2Y + Z = 64$ (стеклодувы из второго цеха не умеют производить фигурки типа икс). Фабрика продает фигурки только наборами, состоящими из фигурок всех типов в пропорции $1 : 1 : 1$ .

Какое максимальное целое количество наборов сможет изготовить фабрика, если стекло нельзя транспортировать между цехами?

Показать ответ и решение

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57356

В одной химической лаборотории производятся две смеси: икс ( $X$ ) и игрек ( $Y$ ). Известно, что икс и игрек синтезируются из двух веществ - альфа ( $α$ ) и бета ( $β$ ). Для синтеза одной единицы икса требуются одна единица альфа и 2 единицы бета, а для производства одной единицы $Y$ требуется только 4 единицы альфа.

а) Постройте КПВ лаборатории в координатах $(X; Y )$ , если запасы веществ, необходимые для производства икса и игрека, равны $(α;β) = (64;32)$ .

б) Позже выяснилось, что при производстве 1 единицы смеси $Y$ спустя некоторое время выделяется вещество бета в количестве $0.5$ ед. Постройте КПВ лаборатории в новых условиях.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57376

Страна А производит товары 3 типов: икс( $x1$ ), игрек( $y1$ ) и зет( $z1$ ). Известно, что 1 единица товара первого типа производится из 1 единицы сырья, второго - из двух, а третьего - из трех. Запас сырья в стране А составляет 180 единиц. По соседству расположена страна B, которая также производит икс( $x2$ ), игрек( $y2$ ) и зет( $z2$ ) так, что для производства одной единицы икса требуется одна единица сырья, второго - три единицы, третьго - две. Запас сырья в стране А составляет 240 единиц. Сырье невозможно транспортировать между странами.

а) Определите уравнения индивидуальных КПВ в странах A и B.

б) Страны решили объединить усилия и произвести иксы, игреки и зет таким образом, что суммарный уровень производства иксов совпал с суммарным уровнем производства игреков и составил 70 единиц. Какое наибольшее количество товара зет способна изготовить объединенная страна?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#57378

Студия звукозаписи BBTS, состоящая из двух независимых отделов, планирует свою работу на следующий год. Для качественной записи звука, а именно рэпа ( $x$ ) и попсы ( $y$ ), каждому отделу необходимы студийные площади и труд звукорежиссеров.

Общая площадь студии составляет 10 м̂2, которую можно делить в любой пропорции между отделами. Также на студии работают звукорежиссеры, трудовой запас которых оценивается в $10$ единиц, труд звукорежиссеров также можно распределять в любой пропорции между отделами. Известно, что производственная функция каждого отдела описывается уравнениями $xi = Ki ∗ Lx i$ и $yi = Ki ∗ Ly i$ , где $Ki$ – студийная площадь, которую использует $i$ -ый отдел, $Lxi$ и $Lyi$ – трудовые единицы вовлеченные в производство рэпа и попсы в $i$ -ом отделе соответственно.

Постройте КПВ студии $BBT S$ в кооррдинатах $(X; Y )$ , где $X = x1 + x2$ – суммарное производство рэпа и $Y = y1 + y2$ – суммарное производство попсы.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57379

Петр и Глеб изготавливают ножи ( $X$ ) и напильники ( $Y$ ). Петр за 1 час способен произвести 1 нож или 1 напильник (или любую линейную их комбинацию). Глеб же за 1 час способен проивести половину ножа или 1 напильник (аналогично, или любую линейную их комбинацию). Известно, что если ребята работают в команде, то есть одноврменно производят один вид продукции, то производительность труда каждого из них увеличивается в $α$ раз!

Постройте суммарную КПВ ребят при различных значениях $α$ , если каждый из них может работать не более 10 часов.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#57380

Государство Московия занимается производством всего двух благ (икса и игрека) с использованием технологий двух заводов, расположенных в разных городах, и ресурсов альфа и бета. Первому заводу для производства одного икса требуются две единицы ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства одного игрека необходимы четыре единицы альфа и две единицы бета. Второму же заводу для производства одного икса требуются четыре единицы альфа и две единицы бета, а для производства одного игрека – две единицы альфа и четыре единицы бета.

а) Постройте КПВ Московии в координатах $(X, Y)$ , где $X$ – суммарный объем производства икса, $Y$ – суммарный объем производства игрека, если известно, что запасы как фактора альфа, так и бета на каждом из заводов составляют $100$ единиц и являются абсолютно немобильными, то есть не могу быть перемещены между заводами.

б) Предположив мобильность ресурса альфа, постройте КПВ Московии в новых условиях.

в) Постройте КПВ Москвии, предположив мобильность всех факторов производства.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#57938

Рассмотрим мир, состоящий из двух стран ( $A$ и $B$ ), в каждой из которых трудятся 100 рабочих. Каждый рабочий первой страны может произвести 1 икс или 2 игрека (или любую выпуклую комбинацию этих точек), рабочий же второй страны - 2 икса или 1 игрек (или любую выпуклую комбинацию этих точек). Известно, что если трудовые единицы работают в команде (то есть одновременно производят один вид продукции), то производительность каждого из них увеличивается в $α$ раз.

В 2022 году население каждой страны в условиях свободного обмена и отсутствии миграции потребляло комплекты из 1 единицы икса и 2 единиц игрека.

В 2023 году предпочтения населения изменились, в новом году жители потребляют комплекты из 1 единицы икса и 0.5 единиц игрека, благодаря чему суммарное потребление комплектов увеличилось на $X%$ по сравнению с 2022 годом.

Определите значение $X$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#61463

Страна Альфа производит икс и игрек по технологиям:

X = KxLx

Y = KyLy.

Общие запасы труда и капитала составляют $K = 100$ , $L = 100$ .

а) Выведите аналитически и постройте КПВ Альфа в координатах $(X,Y )$ .

б) Что вы можете сказать о поведении альтернативной стомости по мере увеличения производства $X$ ?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#61503

Производственные функции для некоторой системы описываются равенством:

Qi = max[Li,Ki]+ i⋅max [Li,Ki],

где $Qi$ – объем производства блага $i$ , $i ∈ {1,2}$ , $Li$ и $Ki$ – использованные в процессе производства объемы труда и капитала соответственно. Известно, что цена найма/покупки любого фактора для производства $i$ -го блага равна $i$ ден. ед.

Постройте и выведите аналитически КПВ производственной системы в координатах $(Q1,Q2)$ , если суммарные издержки на закупку факторов составляют не более 100 ден. ед.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63814

В стране производятся всего два товара: икс( $x$ ) и игрек( $y$ ). Технология производства этих товаров описывается уравнениями: $x = (lx)α$ и $y = (ly)α$ , где $lx$ $(0 ≤ lx ≤ l)$ и $ly$ $(0 ≤ ly ≤ l)$ – части от общего ресурса $l$ , занятые в производстве икса и игрека соответственно, $α$ – некоторый параметр.

а) Постройте КПВ в координатах $(x;y)$ для $α = 0.5,1,2$ , а общий ресурс ограничен $l ≤ 10$ .

б) Определите поведение среднего и предельного продукта труда для каждого значения альфа из предыдущего пункта.

в) Определите поведение альтернативной стоимости для каждого значения альфа из пункта а).

г) Докажите или опровергните утверждение: «Если производственная функция $x(lx)$ характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то и функция среднего продукта $APx (lx)$ монотонно возрастает.»

д) Докажите или опровергните утверждение: «Если функция предельного продукта $M Px(lx)$ монотонно возрастает, то и функция среднего продукта монотонно возрастает.»

е) Докажите или опровергните утверждение: «Если производственные функции, $x(lx)$ и $y(ly)$ , характеризуются возрастающей отдачей от масштаба, то альтернативные издержки будут монотонно убывать.»

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#112540

Две страны: $A$ и $B$ производят иксы игреки с помощью труда. 1 трудовая единица в стране $A$ способна изготовить или 2 икса или 4 игрека, а 1 трудовая единица в стране $B$ способна изготовить или 4 икса, или 3 игрека. Каждая страна имет по 50 трудовых единиц, которые не могут перемещаться между странами. Если жители потребляют иксы и игреки в равной пропорции, найдите максимальное количество потребляемых комплектов? Как увеличится колиечество потребляемых комплектов, если страны объединят усилия и смогут обмениваться иксами и игреками? Как увеличится суммарное количество потребляемых комплектов, если еще и труд станет абсолютно мобильным?

Все ответы округлите до целых и вводите через пробел три числа (т.к. в задаче три вопроса).

Показать ответ и решение

а) Как видно из условия, чтобы произвести $x1$ и $y1$ единиц благ в стране А нужно $0.5x1$ и $0.25y1$ единиц труда соответственно. В этом случае оптимальные уровни производства икса и игрека будут находится из решения системы двух уравнений: $0.5x1 + 0.25y1 = 50$ (ограничение на труд) и $x1 = y1$ (т.к. икс и игрек потребляется комплектами, в пропорции 1:1). Решение системы есть точка $(x1,y1) = (66 2,662) 3 3$ . А значит именно $662 3$ комплектов будет произведено в стране А.

Рассмотрим производство в стране B: аналогично, чтобы произвести $x2$ и $y2$ единиц благ нужно $0.25x2$ и $y2∕3$ единиц труда соответственно. В этом случае оптимальные уровни производства икса и игрека будут находится из решения системы двух уравнений: $0.25x2 + y2∕3 = 50$ и $x2 = y2$ . Решение системы – точка $(x2,y2) = (85 5,85 5) 7 7$ . А значит именно $855 7$ комплектов будет произведено в стране B.

Суммарное количество произведенных комплектов в условиях автаркии – $152-8 21$ .

б) Если обмен иксами и игреками становится возможным, то расчет альтернативных затрат нам поможет установить в какую сторону будет направлен этот обмен и, что самое главное, кто дешевле делает иксы, а кто игреки. Альтернативные издержки производства 1 икса в стране А - 2 игрека, а в стране B - 3/4 игрека. Это означает, что страна B имеет сравнительное преимущество в производстве икса, а значит ей нужно производить иксы, а стране A игреки.

Достигнут ли страны равенства $x1 + x2 = y1 +y2$ при полной специализации? Да! В стране А можно произвести максимально 200 игреков, а в стране Б максимально 200 иксов. Тогда максимальное количество комплектов, которые способы произвести 2 экономики, работая совместно, – 200 ед. Рост уровня потребления относительно пункта а) - на $+ 4713 21$ .

в) В пункте б) нам удалось выяснить, что оптимально находится в точке полной специализации, то есть в такой, когда каждая страна производит исключительно то, в чем она имеет преимущество. Это означает, что возможности миграции труда не приведет к улучшению положения, ибо миграция действенна только тогда, когда какая-либо страна производит благо, в котором она не имеет преимуществ, поскольку остался "лишний"труд. В нашем случае страны уже полностью специализированы, и весь труд эффективно используется.

Ответ: 185 48 0

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#120933

Рассмотрите две страны, которые производят два товара, пшеницу (x) и ткань (y).

Производительность труда (количество товара, которое может произвести 1 работник за год):


Страна	Пшеница (x)	Ткань (y)

Аркадия	6	3

Борелия	1	2

Если известно, что в Аркадии работает 100 человек, а в Борелии – 200, определите:

а) Постройте кривые производственных возможностей (КПВ) для каждой страны.

б) Определите, сколько ресурсов (труда) каждая страна тратит на производство каждого товара в условиях автаркии, если страны потребляют рассматриваемые блага в равной пропорции.

в) Предположим, страны могут обмениваться товарами друг с другом. Как изменится суммарное потребление пшеницы и ткани?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#120940

Рассмотрите две страны, которые производят два товара, пшеницу ( $x$ ) и ткань ( $y$ ) в соответствии со своими КПВ:

x21 y1 = 10 − --- 10

x2 y2 = 40 − --- 10

1. Постройте кривые производственных возможностей (КПВ) для каждой страны.

2. Определите, сколько пшеницы и ткани произведут страны, если они потребляют рассматриваемые блага в равной пропорции.

5. Предположим, страны могут обмениваться товарами друг с другом. Как изменится суммарное потребление пшеницы и ткани?

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125381

Сложите КПВ, заданные функциями $y1 = 100− x1$ , $y2 = 200− 2x2$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#125382

Сложите КПВ, заданные функциями $y1 = 10− 0.1x21$ , $y2 = 5 − 0.2x22$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#125383

Сложите КПВ, заданные функциями $x21 + y21 = 64$ , $x22 + y22 = 36$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125384

Сложите КПВ, заданные функциями $y1 = 1− x1$ , $y2 = 1− √x2$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#125385

Сложите КПВ, заданные функциями $y1 = 4− x21$ , $y2 = 2− x22 8$ .

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#126931

Страны Альфа и Бета потребляют хлеб ( $x$ ) и масло ( $y$ ) в равной пропорции: на 1 единицу масла нужна 1 единица хлеба. КПВ двух стран описываются как:

∘ --------- yA = 100 − x2A, yB = 120 − 2xB.

а) Найдите оптимальные уровни потребления бутербродов, которые делают страны из единицы масла и хлеба, в условиях запрета на обмен товарами.

б) Положим, товарный обмен разрешён, найдите максимальный суммарный уровень потребления в этом случае.

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ: