1. Решим сначала соответствующее однородное уравнение $y′′ + y = 0$ . Для него составляем характеристическое уравнение

λ2 + 1 = 0

Его корнями будут $λ1 = i,λ2 = − i$ . Следовательно, общее решение однородного имеет вид

z = C1cosx + C2 sin x

2. Мы видим, что правая часть нашего исходного неоднородного уравнения имеет вид

eax(Pn(x) cos bx+ Qm (x )sin bx )

где $a = 0,b = 1$ , $Pn = 0,Qm = 4$ . Поэтому частное решение неоднородного будем искать в виде

rax y1 = x e (Rl(x)cos bx+ Tl(x)sinbx)

где $Ql,Tl$ - многочлены с неопределенными коэффициентами степени $l$ , где $l = max {m, n}$ , $r$ - кратность $a+ ib$ как корня характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Поскольку $a = 0,b = 1$ , а $0 + 1i$ является корнем нашего характеристического уравнения кратности 1, то $r = 1$ . $l$ должно быть максимальной степенью из $m$ и $n$ . В нашем случае $Pn$ - нулевой многочлен, $Qm$ - константа, поэтому $Tl$ и $Rl$ - константы.

Итого, частное решение неоднородного будем искать в виде

y1 = x (A cosx + B sinx) = Ax cosx + Bx sin x

$y ′= A cosbx − Ax sin x + B sin x+ Bx cos x 1$ ,
$′′ y1 = − A sin x− A sinx − Ax cosx + B cosx − Bx sin x$ . Чтобы найти $A,B$ , подставляем $y1$ в исходное неоднородное уравнение:

− A sin x− Asinx − Ax cosx + B cosx − Bx sinx + Ax cosx + Bx sin x = 4sinx

Приравнивая теперь коэффициенты при $sinx$ и $cos x$ в левой и правой части, получаем систему уравнений на $A$ и $B$ :

( { Bx − 2A − Bx = 4 п ри sin x ( Ax − Ax + 2B = 0 п ри cosx

Откуда $A = − 2$ , $B = 0$ . Таким образом, $y1 = − 2x cosx$ . Откуда общее решение неоднородного будет

y = − 2x cosx + C1 cosx+ C2sinx, C1, C2 = const

01 Линейные диф. уравнения высших порядков