.04 Уравнения в полных дифференциалах

Проверим сначала достаточное условие того, что левая часть нашего уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Для этого достаточно, чтобы

Итак, , . Получили равенство . Следовательно, исходное уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию , что .

Будем решать систему:

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по при каждом фиксированном . Поскольку при каждом константа интегрирования может быть своя, то, варьируя , получим, что константа интегрирования зависит от - т.е. является функцией от . Давайте константу интегрирования обозначим - в зависимости от . Тогда будем иметь:

И чтобы найти неизвестную функцию , подставим это равенство в первое уравнение системы:

С учётом того, что , будем иметь:

Сокращаем , и получаем, что , то есть .

Следовательно, . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения является , то записываем окончательно
Ответ: