Тема Дифференциальные уравнения

04 Уравнения в полных дифференциалах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дифференциальные уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60947

Решить уравнение в полных дифференциалах

2xcos2ydx + (2y − x2sin2y)dy = 0

Показать ответ и решение

Проверим сначала достаточное условие того, что левая часть нашего уравнения является полным дифференциалом некоторой функции $F (x,y)$ . Для этого достаточно, чтобы

2 2 ∂-(2xcos-y) = ∂-(2y-−-x-sin2y-) ∂y ∂x

Итак, $∂(2xcos2y)-= − 4xsiny cosy = − 2x sin 2y ∂y$ , $∂(2y−x2sin-2y)-= − 2x sin 2y ∂x$ . Получили равенство $∂(2xcos2y) ∂(2y−x2sin2y) ----∂y--- = -----∂x-----$ . Следовательно, исходное уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию $F (x,y )$ , что $dF = 2xcos2ydx + (2y − x2sin 2y)dy$ .

Будем решать систему:

( { ∂F-= 2x cos2y ∂x ( ∂∂Fy-= 2y − x2sin2y

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по $y$ при каждом фиксированном $x$ . Поскольку при каждом $x$ константа интегрирования может быть своя, то, варьируя $x$ , получим, что константа интегрирования зависит от $x$ - т.е. является функцией от $x$ . Давайте константу интегрирования обозначим $ψ(x)$ - в зависимости от $x$ . Тогда будем иметь:

∫ 2 2 x2cos-2y F (x,y) = (2y − x sin2y)dy = y + 2 + ψ (x)

И чтобы найти неизвестную функцию $ψ(x)$ , подставим это равенство в первое уравнение системы:

∂F ∂ (y2 + x2cos2y-+ ψ(x)) --- = ----------2---------- = 2x cos2 y ∂x ∂x

′ 2 xcos2y + ψ (x) = 2x cos y

С учётом того, что $1+cos2y cos2 y = --y----$ , будем иметь:

xcos2y + ψ′(x) = x(1+ cos2y)

Сокращаем $x cos2y$ , и получаем, что $ψ ′(x) = x$ , то есть $ψ (x) = x2-+ C 2$ .

Следовательно, $F(x,y) = y2 + x2cos2y-+ x2+ C 2 2$ . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения $dF = 0$ является $F = const$ , то записываем окончательно
Ответ: $y2 + x2cos2y+ x2= C,C = const 2 2$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60948

Решить уравнение, подобрав интегрирующий множитель

(xy + y4)dx + (x2 − xy3)dy = 0

Показать ответ и решение

Поскольку $4 2 3 ∂(xy∂+yy-)= x + 4y3 ⁄= ∂(x−∂xxy-) = 2x− y3$ , то нужно подобрать интегрирующий множитель, чтобы наше уравнение стало уравнением в полных дифференциалах.

Давайте сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить то, что является полным дифференциалом:

(xy + y4)dx+ (x2 − xy3)dy = x(ydx + xdy) + y3(ydx − xdy )

И мы видим здесь $d (xy )$ , а также практически $x d(y)$ , только вот не хватает знаменателя $2 y$ . Но можно на него разделить и домножить, и тогда будем иметь:

x xd (xy)+ y5d(--) = 0 y

В качестве интегрирующего множителя теперь можно взять $m (x,y) = 1x$ . То есть мы с вами собираемся разделить уравнение на $x$ :

5 d(xy)+ y-d(x) = 0 x y

Теперь давайте для простоты сделаем замену, заменив на новые функции то, что стоит под дифференциалами: $xy = u, xy = v$ . Тогда $5 yx-= uv23$ . И будем иметь уравнение

u2 du + -3-dv = 0 v

И у нас с вами получилось уравнение с разделяющимися переменными:

∫ ∫ u2- du- dv- du- dv- du = − v3dv, − u2 = v3, − u2 = v3

1-= − -1--+ C u 2v2

И, возвращаясь к старым переменным, получим

1-- y2-- xy = − 2x2 + C,C = const

Кроме того, поскольку мы ещё делили на $x$ , то потеряли решение $x ≡ 0$ . Окончательно получим: Ответ:

⌊ 1-- -y2- | xy = − 2x2 + C, C = const; ⌈ x ≡ 0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#60949

Решить уравнение, подобрав интегрирующий множитель

(x2 + y2 + x)dx + ydy = 0

Показать ответ и решение

Поскольку $2 2 ∂(x-+∂yy-+x)= 2y ⁄= ∂(∂yx)= 0$ , то нужно подобрать интегрирующий множитель, чтобы наше уравнение стало уравнением в полных дифференциалах.

В качестве этого множителя давайте возьмём $2x m (x,y) = e$ . Тогда уравнение будет иметь вид

2x 2 2 2x e (x + y + x)dx + ye dy = 0

И оно уже будет уравнением в полных дифференциалах, поскольку

∂ (e2x(x2 + y2 + x)) ∂(ye2x) ------------------ = e2x2y = ------- = 2ye2x ∂y ∂x

Следовательно, наше новое уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию $F(x,y)$ , что $dF = e2x(x2 + y2 + x)dx + ye2xdy$ .

Будем решать систему:

( { ∂∂Fx-= e2x(x2 + y2 + x) ( ∂F- 2x ∂y = ye

∫ y2e2x F(x,y) = ye2xdy = ----- + ψ(x) 2

И чтобы найти неизвестную функцию $ψ(x)$ , подставим это равенство в первое уравнение системы:

y2e2x ∂F- ∂(--2--+-ψ-(x-))- 2x 2 2 ∂x = ∂x = e (x + y + x)

y2e2x + ψ ′(x) = e2x(x2 + y2 + x)

Откуда $ψ ′(x) = e2x(x2 + x)$ , $ψ(x) = 1e2xx2 + C 2$ .

Следовательно, $F(x,y) = y2e2x + 1e2xx2 + C = e2x(x2 + y2) + C 2 2 2$ . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения $dF = 0$ является $F = const$ , то записываем окончательно
Ответ: $e2x 2 2 -2-(x + y ) = C,C = const$

Ответ: