Проверим сначала достаточное условие того, что левая часть нашего уравнения является полным дифференциалом некоторой функции $F (x,y)$ . Для этого достаточно, чтобы

2 2 ∂-(2xcos-y) = ∂-(2y-−-x-sin2y-) ∂y ∂x

Итак, $∂(2xcos2y)-= − 4xsiny cosy = − 2x sin 2y ∂y$ , $∂(2y−x2sin-2y)-= − 2x sin 2y ∂x$ . Получили равенство $∂(2xcos2y) ∂(2y−x2sin2y) ----∂y--- = -----∂x-----$ . Следовательно, исходное уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию $F (x,y )$ , что $dF = 2xcos2ydx + (2y − x2sin 2y)dy$ .

Будем решать систему:

( { ∂F-= 2x cos2y ∂x ( ∂∂Fy-= 2y − x2sin2y

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по $y$ при каждом фиксированном $x$ . Поскольку при каждом $x$ константа интегрирования может быть своя, то, варьируя $x$ , получим, что константа интегрирования зависит от $x$ - т.е. является функцией от $x$ . Давайте константу интегрирования обозначим $ψ(x)$ - в зависимости от $x$ . Тогда будем иметь:

∫ 2 2 x2cos-2y F (x,y) = (2y − x sin2y)dy = y + 2 + ψ (x)

И чтобы найти неизвестную функцию $ψ(x)$ , подставим это равенство в первое уравнение системы:

∂F ∂ (y2 + x2cos2y-+ ψ(x)) --- = ----------2---------- = 2x cos2 y ∂x ∂x

′ 2 xcos2y + ψ (x) = 2x cos y

С учётом того, что $1+cos2y cos2 y = --y----$ , будем иметь:

xcos2y + ψ′(x) = x(1+ cos2y)

Сокращаем $x cos2y$ , и получаем, что $ψ ′(x) = x$ , то есть $ψ (x) = x2-+ C 2$ .

Следовательно, $F(x,y) = y2 + x2cos2y-+ x2+ C 2 2$ . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения $dF = 0$ является $F = const$ , то записываем окончательно ответ

2 x2-cos2y x2- y + 2 + 2 = C, C ∈ ℝ

04 Уравнения в полных дифференциалах