.04 Уравнения в полных дифференциалах

Поскольку , то нужно подобрать интегрирующий множитель, чтобы наше уравнение стало уравнением в полных дифференциалах.

В качестве этого множителя давайте возьмём . Тогда уравнение будет иметь вид

И оно уже будет уравнением в полных дифференциалах, поскольку

Следовательно, наше новое уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию , что .

Будем решать систему:

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по при каждом фиксированном . Поскольку при каждом константа интегрирования может быть своя, то, варьируя , получим, что константа интегрирования зависит от - т.е. является функцией от . Давайте константу интегрирования обозначим - в зависимости от . Тогда будем иметь:

И чтобы найти неизвестную функцию , подставим это равенство в первое уравнение системы:

Откуда , .

Следовательно, . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения является , то записываем окончательно
Ответ: