04 Уравнения в полных дифференциалах

Проверим сначала достаточное условие того, что левая часть нашего уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Для этого достаточно, чтобы

Итак, , . Получили равенство . Следовательно, исходное уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию , что .

Будем решать систему:

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по при каждом фиксированном . Поскольку при каждом константа интегрирования может быть своя, то, варьируя , получим, что константа интегрирования зависит от - т.е. является функцией от . Давайте константу интегрирования обозначим - в зависимости от . Тогда будем иметь:

И чтобы найти неизвестную функцию , подставим это равенство в первое уравнение системы:

С учётом того, что , будем иметь:

Сокращаем , и получаем, что , то есть .

Следовательно, . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения является , то записываем окончательно
Ответ:

Поскольку , то нужно подобрать интегрирующий множитель, чтобы наше уравнение стало уравнением в полных дифференциалах.

Давайте сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить то, что является полным дифференциалом:

И мы видим здесь , а также практически , только вот не хватает знаменателя . Но можно на него разделить и домножить, и тогда будем иметь:

В качестве интегрирующего множителя теперь можно взять . То есть мы с вами собираемся разделить уравнение на :

Теперь давайте для простоты сделаем замену, заменив на новые функции то, что стоит под дифференциалами: . Тогда . И будем иметь уравнение

И у нас с вами получилось уравнение с разделяющимися переменными:

И, возвращаясь к старым переменным, получим

Кроме того, поскольку мы ещё делили на , то потеряли решение . Окончательно получим: Ответ:

Поскольку , то нужно подобрать интегрирующий множитель, чтобы наше уравнение стало уравнением в полных дифференциалах.

В качестве этого множителя давайте возьмём . Тогда уравнение будет иметь вид

И оно уже будет уравнением в полных дифференциалах, поскольку

Следовательно, наше новое уравнение - действительно в полных дифференциалах, и нам нужно найти такую функцию , что .

Будем решать систему:

Давайте проинтегрируем второе уравнение этой системы по при каждом фиксированном . Поскольку при каждом константа интегрирования может быть своя, то, варьируя , получим, что константа интегрирования зависит от - т.е. является функцией от . Давайте константу интегрирования обозначим - в зависимости от . Тогда будем иметь:

И чтобы найти неизвестную функцию , подставим это равенство в первое уравнение системы:

Откуда , .

Следовательно, . Таким образом, поскольку решением нашего уравнения является , то записываем окончательно
Ответ: