.06 Уравнения, допускающие понижение степени

В наше уравнение не входит явно искомая функция . Поэтому понизить его степень можно, приняв за новую искомую функцию . Тогда будет уравнение

Это линейное уравнение первого порядка. Решим его методом вариации постоянной - сначала решим соответствующее однородное уравнение

А затем приняв постоянную за функцию от найдём её, подставив в исходное уравнение.

1. Итак, решаем однородное

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Имеем . Обозначая и потенцируя, имеем:

2. Теперь будем считать, что наша постоянная есть функция от , то есть запишем общее решение однородного как . И чтобы найти эту неизвестную функцию , подставляем в исходное уравнение:

И получаем . Следовательно, мы нашли с вами :

Но вспомним, что - это была только заменяющая функция . Таким образом, имеем:

Ответ: