Алгебра. Исследование замены

Обозначим за . Выразим синус и косинус через тангенс половинного угла. Получим уравнение

Домножив на знаменатель, получаем уравнение относительно .

Если старший член не равен 0, оно имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен, а значит, . Откуда . Поскольку уравнение имеет решение при любом вещественном , все , удовлетворяющие полученному условию, нам подходят.

Если же старший член равен 0, то также нессложно видеть, что уравнение имеет решение.

Осталось рассмотреть случай, когда мы не можем сделать такую замену. Это значит, что . Но тогда . То есть в этом случае , такое число уже входит в полученный отрезок.