Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Тема Задачи с параметром

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90689

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 3|+ |x − 2|= a

имеет бесконечно много решений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрим на левую часть уравнения: узнаём корыто, да ещё и с плоским дном, и радостно бежим рисовать его на графике (конечно, представив его как кусочно-заданную функцию).

Подсказка 2

Смотрим на правую часть графика и ещё больше радуемся, там только один параметр, а значит мы получим обычную горизонтальную прямую (1).

Подсказка 3

Теперь дело осталось за малым: смотрим, как движется наша прямая и хитро подмечаем, что бесконечное количество решений возможно только если прямая (1) совпадает с дном корыта. Если прямая (1) ниже дна – нет решений, выше – только два решения.

Подсказка 4

Мы знаем, какая прямая задаёт его дно: наш ответ готов!

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение левой части $y = |x − 3|+ |x − 2|,$ раскроем модули и представим ее в кусочном виде:

(| ||{ 5− 2x, x≤ 2 y = | 1, 2< x< 3 ||( 2x − 5, x≥ 3

Это «корыто» с углами в точках $(2;y(2))= (2;1)$ и $(3;y(3))= (3;1).$ Построим его график.

$PIC$

Уравнение правой части $y = a$ задает произвольную горизонтальную прямую. Единственный случай, в котором эта прямая имеет с корытом бесконечное количество точек пересечения, достигается при $a= 1,$ когда горизонтальная прямая содержит отрезок дна корыта.

Ответ:

$a ∈{1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно найдено значение $a =1,$ но при этом нет обоснования нахождения значения параметра $a$	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90690

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( { y = 3|x|+ |2x − 4| ( y = 2|x − 1|+ 2x+ a

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изобразим графики функций f(x) = 3|x| + |2x-4| и g(x) = 2|x-1| + 2x. А теперь подумаем, как из графика y = g(x) получается график y = g(x) + a?

Подсказка 2

Конечно же! График y = g(x) + a получается сдвигом графика функции y = g(x) вертикально на а единиц (вверх/вниз). Теперь остаётся лишь понять, когда такие графики имеют одну точку пересечения, и задача уничтожена

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =3|x|+|2x− 4|,$ $g(x)= 2|x− 1|+2x.$ Тогда

( |||{ −5x +4, при x< 0 ({ f(x)= x+ 4, при 0≤ x ≤2 g(x)= 2, при x < 1 ||| ( 4x − 2, при x ≥ 1 ( 5x− 4, при x> 2

Тогда график функции $y = h(x)= g(x)+ a$ получаем сдвигом графика функции $y = g(x)$ вертикально на $a$ единиц (вверх/вниз). Необходимо, чтобы график функции $y = f(x)$ (корыто с наклонным дном) и график функции $y = h(x)$ (уголок) имели одну общую точку.

Изобразим графики:

$xyy6241234320 =ррррррреееееееfшшшшшшш(x.......)$

Одно решение система имеет, когда правая ветвь уголка $y = 4x− 2+ a$ проходит через точку $(2;6):$

6= 4⋅2− 2+ a ⇔ a = 0

Заметим, что правая ветвь уголка не параллельна правой ветви корыта, следовательно, при $a > 0$ они пересекаются, то есть всегда дают одну общую точку. На рисунке изображены другие положения уголка относительно корыта, при которых количество общих точек равно 0, 2, 3 или 4.

Ответ:

$a ∈{0}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен необоснованный переход к результату	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90691

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|1− x|+|3x− 2|= 2a− ax

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части мы имеем сумму двух модулей. А значит, мы можем легко изобразить график этой функции, представив её как кусочно-заданную. Теперь осталось разобраться с выражением справа.

Подсказка 2

Да это же просто прямая с фиксированной точкой (2; 0). И параметр a меняет лишь угол наклона этой прямой. Осталось лишь посмотреть, как движется наша прямая в зависимости от a, и отметить случаи, когда всего одно пересечение.

Показать ответ и решение

Решим задачу графически. Левая часть представляет из себя кусочно-заданную функцию, а правая часть — это семейство прямых, проходящих через точку $(2;0).$ Параметр $a$ меняет лишь угол наклона этой прямой. Изобразим графики.

$PIC$

Из графиков видно, что единственное решение будет в трех случаях:

$1)$ Если график прямой $2a− ax$ проходит через точку $(23;13).$ Тогда получаем, что

2a− a ⋅ 2= 1 =⇒ a= 1 3 3 4

$2)$ Если график прямой $2a− ax$ имеет меньший или равный угловой коэффициент, чем у прямой $y = −4x+ 3$ , так как иначе будет пересечение с $y = −4x+ 3$ . Тогда получаем, что

k= −4 =⇒ −a ≤−4 =⇒ a≥ 4

$3)$ Если график прямой $2a− ax$ имеет больший угловой коэффициент, чем у прямой $y = 4x− 3,$ иначе пересечения не будет. Получаем, что

k= 4 =⇒ − a> 4 =⇒ a< −4

Ответ:

$(−∞; −4)∪{1} ∪[4;∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31980

Найдите все значения параметра $a$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (y+ 8− x2)(2x+ |y|)= 0; 2 2ax − y =8+ a .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начинаем с того, что строим графики каждого из уравнений. Помните о том, что произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0!

Подсказка 2

Посмотрите на то, при каких х парабола пересекается с прямой. Сделайте выводы о том, при каких а этот случай дает нам решение!

Подсказка 3

Да, прямая всегда касается параболы (всегда одно решение у системы для пересечения прямой и параболы) и нам нужна ещё одна общая точка с “уголком”. Найдите случаи, когда она есть и уничтожьте задачу!)

Подсказка 4

Не забудьте рассмотреть случаи, когда прямая параллельна одной из сторон уголка!

Показать ответ и решение

Первое уравнение даёт объединение параболы $y = x2− 8$ и “уголка” $|y|=− 2x$ , второе при каждом фиксированном значении $a$ задаёт прямую $2 y = 2ax − 8− a$ . Пересечём этот график с параболой $2 2 x − 8= 2ax − 8− a ⇐⇒ x = a$ . Получается, что прямая всегда касается параболы (всегда одно решение у системы для пересечения прямой и параболы) и нам нужна ещё одна общая точка с “уголком”. Возможны два случая:

Касание происходит в общей точке параболы и “уголка”, эти точки определяются условиями $2 x − 8= −2x ≥0 =⇒ x= a= −4$ и $2 x − 8 =2x ≤0=⇒ x= a= −2$ .
Прямая проходит между такими положениями, которым соответствует модуль угла наклона, равный $2$ :

$PIC$

В самих положениях $2a =±2$ прямая параллельна сторонам “уголка”.
Между этими положениями общая точка будет ровно одна.
При $a< −1$ — две (кроме рассмотренных случаев $a= −2$ и $a= −4$ ).
При $a≥ 1$ — ни одной.

Ответ:

${−4;−2}∪ [−1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#39357

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |x|+|x− 2|− 2y = 0; x2− 2x+ y2− 2ay =− 2a

имеет ровно три различных решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, второе уравнение с x^2 и y^2 имеет большие шансы на становление уравнением окружности! Давайте попробуем переписать его в таком виде. На этом моменте полезно понять, что за объекты (графики) у вас даны в задаче и порисовать первое и второе уравнение. Пытаемся понять, что от нас хотят в условии.

Подсказка 2!

Ага, вывели уравнение окружности. Заметим, что наше уравнение симметрично, относительно замены х-1 на 1-х! Подставим тогда х = 1...

Подсказка 3!

Получаем, что (1, 1) - всегда решение! Попробуем снова порисовать графики и понять, что на некотором отрезке это будет единственное решение. Для этого оценим у через первое уравнение. Попробуем его оттуда выразить.

Подсказка 4!

Да, попробуем доказать, что на отрезке [0,2] это единственное решение. Тогда надо найти еще 2 где-то вне отрезка! Мы уже поняли основную идею, осталость аккуратно записать условия в системы и решить!)

Показать ответ и решение

Второе уравнение можно переписать как $(x− 1)2+ (y− a)2 = 1− 2a+a2 =(a− 1)2$ , это уравнение окружности с центром в $(1,a)$ и радиусом $|a− 1|$ .

Уравнение симметрично относительно замены $x− 1$ на $1− x$ , а при подстановке $x= 1$ в систему обнаруживаем, что пара $(1;1)$ является решением системы при любых значениях параметра.

Нарисуем графики наших уравнений при разных $a$ .

$PIC$

Заметим, что $y = |x|+|2−x|≥ 1 2$ , поэтому если $a≤ 1$ , то

2 2 2 2 2 2 (a− 1) = (x− 1) + (y − a) ≥ (x− 1) +(a− 1)≥ (a− 1)

и решение у системы только $(1,1).$

Других решений, кроме $(1;1)$ на отрезке $[0,2]$ для $x$ не может быть, так как в таком случае $y = 1$ и опять $(x− 1)2+ (a− 1)2 = (a − 1)2$ .

Значит, есть по одному решению при $x> 2$ и при $x< 0$ (из симметрии). То есть система

(| x− 1= y, { (x− 1)2+ (y− a)2 = (a − 1)2, |( x >2

должна иметь одно решение.

Заметим, что при $a >1$ эта система имеет одно решение только тогда, когда окружность касается прямой. Иначе если точек пересечений больше одной, то для обеих верно, что $y > 1$ , так как $a >0$ и поэтому $x> 2$ .

Окружность касается прямой, если они пересекаются в одной точке, так что уравнение $y2+ (y − a)2 = (a − 1)2 ⇐ ⇒ 2y2− 2ay+2a− 1= 0$ имеет одно решение относительно $y$ . Дискриминант этого уравнения равен нулю при $a2− 2(2a − 1)= 0 ⇐⇒ a= 2± √2$ .

С учётом $a> 1$ остаётся $a= 2+ √2.$ Это значение $a$ подходит под предыдущие условия и при $x <0$ у системы получится тоже одно решение по симметрии.

Ответ:

$2+ √2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51664

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых функция $f(x)= x2− ||x − a2||− 3x$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Показать ответ и решение

Раскрывая модуль, получаем, что на каждом из двух промежутков графиком функции $y =f(x)$ является парабола с ветвями вверх. Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается том, что точкой максимума является граiчная точка этих промежутков — точка $2 x= a .$ В этой точке будет максимум, если вершина параболы $2 2 y = x − 4x+a$ попадёт на промежуток $2 x> a,$ а вершина параболы $2 2 y =x − 2x− a$ — на промежуток $2 x< a$ (см. рис). Это условие задаётся неравенствами $2 2> a$ и $2 1 <a ,$ решая которые, находим, что $√ - √- a∈(− 2;−1)∪ (1; 2).$

$PIC$

Ответ:

$(−√2;−1)∪ (1;√2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система только кажется страшной, а когда так кажется, то скорее всего за ней спрятано что-то простое. Давайте тогда попробуем разбить наши сложные уравнения на несколько простых, а ещё попутно не забудем собирать ограничения на ОДЗ!

Подсказка 2

Во втором уравнении как-то странно выбивается log₂(a²), ведь остальные логарифмы по основанию "a". Может, стоит его перевернуть? Не забывайте, что мы не всегда вправе так делать, вспомните, какими утверждениями мы пользуемся при таком переходе, чтобы он был равносильным.

Подсказка 3

Первое уравнение легко распадается на 2 независимых, а значит, нашу систему можно переписать как совокупность систем и работать с каждой из них по отдельности. Мы могли бы поверить в светлое будущее и понадеяться, что в сумме полученные системы имеют не более 6 решений, чтобы получить ещё побольше информации, но, порисовав графики, можно убедиться, что решений может быть больше. Поэтому придётся искать, сколько решений имеет каждая из систем по отдельности для всех "a".

Подсказка 4

Давайте начнём с системы ay-ax+2=0; |xy|=4a. Про I, II, III четверти мы всё понимаем, а вот с IV стоит поработать. Поэтому мы сразу можем сказать, что работаем при x > 0, y < 0. Интуитивно хочется сказать, что нас волнует только точка (1/a, -1/a) прямой ay-ax+2=0, которая сама бегает по прямой y = -x, а именно под или над веткой гиперболы она лежит. Ещё очень хочется сказать, что ближайший маршрут от точки (0,0) до ветки лежит на прямой y = -x. А если что-то хочется, то надо бы попробовать это доказать. Подумайте, как можно понять, сколько общих точек с веткой гиперболы из IV четверти имеет наша прямая для всех "a"?

Подсказка 5

Мы же можем перейти к расстояниям от интересующих нас точек до точки (0,0), ведь они обе лежат на прямой y=-x и на ней же лежит отрезок из начала координат до ближайших точек соответствующих графиков, а зная расстояние до каждой из них, мы с лёгкостью сможем сказать, сколько решений имеет данная система.

Подсказка 6

Чтобы найти длину достаточно знать координаты каждой из указанных точек и воспользоваться теоремой Пифагора. На самом деле для нахождения кратчайшего расстояния до прямой ay-ax+2=0 можно было воспользоваться фактами для прямоугольного треугольника, который образуется пересечением этой прямой с осями, такой приём может сильно сократить вычисления в более сложных задачах.

Подсказка 7

Наконец перейдём ко второй системе. Теперь у нас один из графиков не прямой, а "уголок" ("галочка", "клин"). Чтобы хорошо себе представить его поведение хорошо бы знать, как меняется его "вершина" и "ветки" при изменении "a".

Подсказка 7

Можно заметить, что коэффициент перед "x" от "a" не зависит, а значит его ветки постоянны, а если вместо "x" подставить "a" (момент смены знака модуля или наклона прямой), то можно заметить, что y = -a, а значит, его вершина лежит на прямой y=-x, и мы снова свели задачку к IV четверти, но у нас уже есть все инструменты для решения аналогичной задачи!

Подсказка 8

Не забудьте про то, что если первая система имеет A решений, вторая - B, то необязательно, что их совокупность будет иметь A+B решений, ведь некоторые могут совпасть...

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#39866

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 x + a|x− a|=8x − 15

имеет решение. Для каждого из найденных значений укажите число решений уравнения.

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что надо заметить в этой задаче, — это то, что, кажется, она нормально не решается аналитически. Значит, наверное, можно решить её графически! Если сделать одно преобразование, станет понятно, почему и как задача решается графически!

Подсказка 2

Конечно, надо оставить слагаемые с параметром в одной части уравнения, а остальные перекинуть в другую. Тогда в одной части образуется уравнение параболы, а в другой — понятный график модуля! Построим график параболы, а также подумаем, как меняется график модуля при изменении параметра. Может, это натолкнёт нас на интервалы для параметра, которые стоит рассматривать...

Подсказка 3

При a < 0 ветви у модуля идут вниз, а при увеличении параметра они постепенно поднимаются вверх и становятся всё ближе друг к другу! Кроме того, при увеличении параметра вершина модуля (a; 0) движется по оси абсцисс вправо. Тогда ключевыми точками будут a = 0, a = 3 и a = 5. Осталось только рассмотреть интервалы для параметра и в каждом из них узнать наличие решений, а также их количество :)

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать так:

2 a|x− a|= −x +8x− 15

График правой части представляет собой параболу $y =− x2+8x− 15$ ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках $(3;0)$ и $(5;0)$ . Рассмотрим теперь график левой части $y = a|x− a|$ при разных значениях параметра.

$a <0$ . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке $(a;0)$ , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
$a =0$ . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью $Ox.$ Пересечение нашли выше, получаем также два решения.
$0 <a <3$ . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь $x ≥a$ пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае
$a(x− a)= −x2+ 8x − 15,x− a≥0$

$x2+x(a− 8)+(15− a2)= 0,x ≥a$
Необходимо и достаточно проверить $x≥ a$ для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего
$8− a− ∘5a2−-16a-+4 ≥2a$

$∘ ---------- 8− 3a≥ 5a2 − 16a+ 4$

$(|{ 8− 3a≥0 5a2− 16a+ 4≥ 0 |( 64− 48a+ 9a2 ≥ 5a2− 16a+4$

$( 8 ||{ a≤ 3( 8−2√11] [8+2√11 ) || a∈ 0;--5---∪ ---5--;3 ( 4a2− 32a+ 60≥ 0 ⇐ ⇒ a∈(−∞, 3]∪ [5,+∞ )$
После пересечения остаётся только $( √--] a∈ 0;8−-2511-,$ потому что $√-- 8+25-11-> 8∕3.$
$a =3,a= 5$ . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( $3$ и $5$ ) больше модулей наклона касательных в $x= 3$ и $x= 5$ , которые равны $1.$
$3 <a <5$ . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.
$a >5$ . Решаем аналогично $0 <a <3$ , здесь $x≤ a$ , потому что пересекать может только левая ветка галочки.
$2 2 x − (a+ 8)x+ 15+ a = 0$
Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте
$[ √-- √--] − 3a2+ 16a+4 ≥0 ⇐ ⇒ a ∈ 8−-2-19,8+-2-19 3 3$

$( 8+2√19] a∈ 5,--3----$
Проверим $x ≤a$ для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

$8+ a+∘ −3a2+-16a-+4≤ 2a ⇐⇒ ∘−-3a2-+16a+-4≤ a− 8$
Должно быть $a≥ 8$ , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Ответ:

$a ∈(−∞; 8−2√11]∪ [3;5] 5$ :

При $8−2√11 a= ---5--,a =3,a= 5$ решение одно,

при прочих найденных решений два.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85349

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Построим график функции, соответствующей первому уравнению, он без параметра, никуда не двигается. А вторая функция может задавать любую прямую.

Подсказка 2

Прямая может пересекать галочку в бесконечном числе точек, только если прямая совпадает с одной из “половинок” этой галочки. Осталось всего лишь выписать уравнения прямых, соответствующих двум половинкам галочки и выразить оттуда k и а.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32287

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ 3|y|− 4|x|=6; x2+ y2− 14y+ 49− a2 = 0

(a) имеет ровно три решения;

(b) имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала построим график первого уравнения: оно не зависит от параметра а. Заметим, что график этот симметричен относительно обеих координатных осей, это можно использовать при его построении!

Подсказка 2

Второе уравнение включает в себя х² и у² и не включает перекрёстных слагаемых, это наводит на мысль о том, что надо попытаться получить из него уравнение окружности!

Подсказка 3

Пункт (а). Нужно получить нечётное число решений, а построение симметрично относительно оси у. Как тогда должна располагаться окружность?

Подсказка 4

Пункт (б). Если предположить, что окружность пересекает нижний "уголок", то и верхний она тоже пересекает и решений уже больше двух. Поэтому подходящие значения а нужно искать в том диапазоне, когда окружность пересекается только с верхним "уголком"!

Показать ответ и решение

Заметим, что первое уравнение при замене $x$ на $− x$ или $y$ на $− y$ не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При $x ≥0$ и $y ≥ 0$ это уравнение имеет вид $4 y = 2+ 3x$ — луч с началом в точке $A(0;2)$ и угловым коэффициентом $4 3.$ Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке $A(0;2)$ и с вершиной в точке $C(0;− 2)$ и угловыми коэффициентами лучей $( 4) ± 3 .$

Во втором уравнении выделим полный квадрат $2 2 y − 14y+ 49=(y− 7).$ Тогда это уравнение можно записать так:

x2+ (y− 7)2 =a2

Оно задает окружность с центром в точке $Q(0;7)$ и радиусом $|a|$ (в случае $a= 0$ — это точка $(0;7)$ ).

$PIC$

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси $Oy.$ Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку $QA$ или отрезку $QC.$ Так как $∘ -------------- QA = (0− 0)2+ (2 − 7)2 = 5$ и $QC = QA + AC = 5+ 4= 9,$ то получаем $|a|=5$ или $|a|= 9.$ Видно, что при этих $a$ есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке $A(0;2),$ поэтому любое $a= ±5$ или $a= ±9$ подходит.

$PIC$

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной $A$ или имеет радиус, больший $QA,$ но меньший $QC.$ Мы уже знаем $QA$ и $QC,$ так что осталось найти этот радиус (обозначим его $R0$ ). Для этого опустим перпендикуляр $QH$ на сторону угла с вершиной в точке $A.$ Пусть $α$ — угол наклона прямой $AH$ ( $tgα= 4). 3$ Тогда $∠QAH = 90∘− α,$ $∠AQH = α.$ Так как $QH = R , 0$ то $AH =QH tgα= 4R . 3 0$ По теореме Пифагора для $△AQH$ получаем $R = 3. 0$ Тогда $|a|∈{3}∪(5;9).$

$PIC$

Ответ:

(a) ${±5;±9}$

(b) $(−9;− 5)∪ {±3}∪(5;9)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85350

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−-x−-6 a|2− x|+ 3− x = 0

имеет ровно одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Имеется уравнение, зависящее от одной переменной х и параметра а. Конечно, первым делом надо записать ОДЗ и по возможности упросить уравнение :)

Подсказка 2

Можно построить график a(x) и из него понять, при каких а’ прямая а=a’ пересекает наш график лишь единожды (и не забыть про ОДЗ).

Показать ответ и решение

Разложим квадратный трёхчлен на множители и получим

(x−-3)(x+-2) a|2− x|= x − 3

Посмотрим на графики левой и правой части. Слева уголок с подвижными ветвями, зависящими от $a,$ справа прямая с выколотой точкой.

$PIC$

Рассмотрим предельные случаи:

1) Когда ветвь уголка проходит через выколотую точки. То есть точка $(3,5)$ принадлежит уголку, тогда

a|2− 3|= 5

a= 5

$PIC$

2) Когда $a> 0$ и ветвь уголка параллельна прямой, тогда $a =1.$

$PIC$

3) Когда $a< 0$ и ветвь уголка параллельна прямой, тогда $a =− 1.$

$PIC$

Тогда из графиков видно, что уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда $a∈(−1;1]∪ {5}.$

Ответ:

$(−1;1]∪ {5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#36667

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых для любого значения $b$ система

{ (x+ 1)2+ |y − 1|= 2; y = b|2x+ 1|+a.

имеет решения.

Источники: ПВГ-2013, 11.4 (см.pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Изобразим решение системы на координатной плоскости. Первое уравнение системы задает объединение двух дуг парабол: $y1 = 3− (x +1)2,y1 ≥ 1$ и $y2 = (x+ 1)2 − 1,y2 < 1$ , которое представляет из себя замкнутую линию. Второе уравнение системы при $b= 0$ определяет на плоскости прямую $y = a$ , а при $b⁄= 0$ — два луча $y = b(2x+ 1)+a,x≥ − 12$ и $y = −b(2x+1)+ a,x <− 12$ с общим началом в точке $( ) − 12,a$ . Прямая $x =− 12$ пересекает дуги парабол в точках $( ) A − 12,− 34$ и $( ) B − 12,114$ . Поэтому для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы общее начало лучей лежало на отрезке $AB$ .

Ответ:

$[− 3;11] 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#51340

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система уравнений

({|x− 1|+ |x+ 1|− 2y = 0 2 2 ( x +y − 2ay+2a= 1

имеет ровно три различных решения.

Источники: Физтех-2010, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое уравнение системы можно записать в виде

( { 1, |x|≤ 1 y = (|x|, |x|> 1

Второе уравнение системы преобразуется к виду $x2+ (y− a)2 = (a− 1)2$ и является уравнением окружности с центром в точке $(0;a)$ и радиусом $|a− 1|$ . Эта окружность при любом значении $a$ проходит через точку $A (0;1)$ и касается прямой $y =1.$ Если $a <1,$ то окружность лежит ниже прямой $y =1,$ и данная система в этом случае имеет единственное решение $(0;1).$ При $a =1$ окружность вырождается в точку $A,$ т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение $(0;1).$ Если же $a >1,$ то окружность расположена выше прямой $y = 1,$ и система кроме решения $(0;1)$ будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой $x= 0)$ в том случае, когда окружность касается прямых $y = x$ и $y = −x.$ Это означает, что система

{ y =x x2+ (y− a)2 = (a− 1)2

имеет единственное решение, т. е. уравнение $x2+ (x − a)2 = (a − 1)2$ имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так $2x2− 2ax +2a− 1= 0,$ откуда $D = 4a2− 8(2a− 1)= 4(a2− 4a +2)= 0,$ т. е. $a =2± √2.$ Так как $a> 1,$ то получаем $a =2+ √2.$

Ответ:

$2+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#51339

Найти все значения параметра $a,$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x;y),$ удовлетворяющих системе уравнений

{ (x+ y2 − 1)(y− √6|x|) =0 2 2ay+x = 1+a

Источники: Физтех-2007, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную $L$ , задаваемую уравнением $√- y = 6|x|,$ и параболу $Π$ , задаваемую уравнением $x +y2 = 1.$ Ломаная $L$ пересекается с параболой $Π$ в точках с абсциссами $x= − 12$ и $x = 13$ и положительными ординатами. Прямая $ℓ(a)$ , задаваемая уравнением $2ay+ x=$ $= 1+ a2,$ касается параболы $Π$ в точке $( ) 1− a2;a .$ Найдем $a> 0,$ при которых точка касания $ℓ(a)$ и $Π$ является точкой пересечения $L$ и $Π$ , то есть удовлетворяет уравнению $L$ . Имеем: $1 − a2 = − 12$ при $∘ -- a = 32$ и $1− a2 = 1 3$ при $a= ∘ 2. 3$

Разберём случаи

При $a> ∘ 3- 2$ или $a ∈(∘ 2;∘ 3) 3 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $∘ 2- a= 3$ и $∘-3 a= 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в двух различных точках, одна из которых является точкой касания $ℓ(a)$ и $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём $( ∘ -) a1 ∈ 0; 23$ , при котором $ℓ(a1)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = −√6x$ . Получим $− 2a1 = −√16,$ т. е. $a1 = 21√6$ .

Аналогично ищем $a0 <0$ , при котором $ℓ(a0)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = √6x$ . Получаем $− 2a0 = 1√6$ , т. е. $a0 = − 1√- 26$ .

При $-- a∈ (-1√-;∘2) 2 6 3$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $a∈ (−-1√-;-1√-] 2 6 2 6$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
При $-1√- a≤ −2 6$ прямая $ℓ(a)$ не пересекается с $L.$ Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.