Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Рассмотрим уравнение левой части раскроем модули и представим ее в кусочном виде:

Это «корыто» с углами в точках и Построим его график.

Уравнение правой части задает произвольную горизонтальную прямую. Единственный случай, в котором эта прямая имеет с корытом бесконечное количество точек пересечения, достигается при когда горизонтальная прямая содержит отрезок дна корыта.

Пусть Тогда

Тогда график функции получаем сдвигом графика функции вертикально на единиц (вверх/вниз). Необходимо, чтобы график функции (корыто с наклонным дном) и график функции (уголок) имели одну общую точку.

Изобразим графики:

Одно решение система имеет, когда правая ветвь уголка проходит через точку

Заметим, что правая ветвь уголка не параллельна правой ветви корыта, следовательно, при они пересекаются, то есть всегда дают одну общую точку. На рисунке изображены другие положения уголка относительно корыта, при которых количество общих точек равно 0, 2, 3 или 4.

Решим задачу графически. Левая часть представляет из себя кусочно-заданную функцию, а правая часть — это семейство прямых, проходящих через точку Параметр меняет лишь угол наклона этой прямой. Изобразим графики.

Из графиков видно, что единственное решение будет в трех случаях:

Если график прямой проходит через точку Тогда получаем, что

Если график прямой имеет меньший или равный угловой коэффициент, чем у прямой , так как иначе будет пересечение с . Тогда получаем, что

Если график прямой имеет больший угловой коэффициент, чем у прямой иначе пересечения не будет. Получаем, что

Рассмотрим графики функций

Точки пересечения этих графиков и будут решением уравнения.

Сначала построим график функции

Если то

Если же то

Заметим, что — это прямая смещённая на 4 единицы влево вдоль оси То есть график функции пересекает ось абсцисс в точке а от параметра зависит угол наклона прямой.

Найдем точку пересечения прямых и

Отсюда следует, что при прямые пересекаются не ниже оси абсцисс, а, значит, при таких значениях график пересекает правую часть графика

Теперь найдем точку пересечения прямых и

Отсюда следует, что при прямые пересекаются не ниже оси абсцисс, а, значит, при таких значениях график пересекает левую часть графика

Рассмотрим расположение графиков в зависимости от значения

При При таких значениях график будет пересекать прямую выше а прямую — ниже, то есть графики и будут иметь ровно одну точку пересечения.

При При этом значении прямые и параллельны, то есть не имеют точек пересечения, а прямые и пересекаются в точке что выше а, значит, и имеют ровно одну точку пересечения.

При В этом случае прямая пересекает и левую, и правую часть графика откуда и имеют две точки пересечения.

При График — горизонтальная прямая, совпадающая с прямой поэтому и имеют единственную точку пересечения — точку

При перескает прямые и ниже оси асбцисс, поэтому не имеет общих точек с

При прямые и параллельны, то есть не имеют точек пересечения, а прямые и пересекаются ниже а значит и не имеют общих точек.

Наконец, при прямая пересекает ниже а — ниже, а, значит, и имеют ровно одну точку пересечения.

Итак, мы получили, что графики и имеют ровно одну точку пересечения при

Построим график функции , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в и четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При получаем

При получаем

Найдём значения параметра , при которых прямая пересекает график в нечетном числе точек.

При пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При получаем решения.

При получаем решения.

При получаем решения.

При получаем решения.

Первое уравнение даёт объединение параболы и “уголка” , второе при каждом фиксированном значении задаёт прямую . Пересечём этот график с параболой . Получается, что прямая всегда касается параболы (всегда одно решение у системы для пересечения прямой и параболы) и нам нужна ещё одна общая точка с “уголком”. Возможны два случая:

• Касание происходит в общей точке параболы и “уголка”, эти точки определяются условиями и .

• Прямая проходит между такими положениями, которым соответствует модуль угла наклона, равный :

  

  В самих положениях прямая параллельна сторонам “уголка”.

  Между этими положениями общая точка будет ровно одна.

  При — две (кроме рассмотренных случаев и ).

  При — ни одной.

Второе уравнение можно переписать как , это уравнение окружности с центром в и радиусом .

Уравнение симметрично относительно замены на , а при подстановке в систему обнаруживаем, что пара является решением системы при любых значениях параметра.

Нарисуем графики наших уравнений при разных .

Заметим, что , поэтому если , то

и решение у системы только

Других решений, кроме на отрезке для не может быть, так как в таком случае и опять .

Значит, есть по одному решению при и при (из симметрии). То есть система

должна иметь одно решение.

Заметим, что при эта система имеет одно решение только тогда, когда окружность касается прямой. Иначе если точек пересечений больше одной, то для обеих верно, что , так как и поэтому .

Окружность касается прямой, если они пересекаются в одной точке, так что уравнение имеет одно решение относительно . Дискриминант этого уравнения равен нулю при .

С учётом остаётся Это значение подходит под предыдущие условия и при у системы получится тоже одно решение по симметрии.

Раскрывая модуль, получаем, что на каждом из двух промежутков графиком функции является парабола с ветвями вверх. Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается том, что точкой максимума является граiчная точка этих промежутков — точка В этой точке будет максимум, если вершина параболы попадёт на промежуток а вершина параболы — на промежуток (см. рис). Это условие задаётся неравенствами и решая которые, находим, что

Упростим второе уравнение системы:

I.

1) Система имеет 2 различных решения, если

Найдем эти решения:

2) Система имеет 3 различных решения, если

Найдем эти решения:

3) Система имеет 4 различных решения, если

Найдем эти решения:

II.

при имеем при имеем

1) Система имеет 2 различных решения, если

Найдем эти решения:

2) Система имеет 3 различных решения, если

Найдем эти решения:

3) Найдем значение параметра при котором прямая будет касаться графика гиперболы

Тогда при система будет иметь 4 решения:

Найдем четвертое решение:

4) При система будет иметь 5 различных решений:

5) Система имеет 6 различных решений при :

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) в этом случае нет решений;

2) прямые и гипербола пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при и в этом случае будет 7 решений.

Уравнение можно переписать так:

График правой части представляет собой параболу ветвями вниз, пересекающую ось в точках и . Рассмотрим теперь график левой части при разных значениях параметра.

• . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
• . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью Пересечение нашли выше, получаем также два решения.

• . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае

  
  

  Необходимо и достаточно проверить для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего

  
  
  
  

  После пересечения остаётся только потому что

• . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( и ) больше модулей наклона касательных в и , которые равны
• . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.

• . Решаем аналогично , здесь , потому что пересекать может только левая ветка галочки.

  

  Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте

  
  

  Проверим для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

  

  Должно быть , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Рассмотрим функцию и преобразуем её:

ОДЗ:

Тогда, если нарисовать наши графики с учётом ОДЗ, получится:

Чтобы уравнение имело одно решение, графики должны пересекаться только в одной точке. Такое возможно, когда пересекает в вершине или проходит через выколотые точки.

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке , пересекающая ось в точках и

Уравнение задает прямую. Предположим, что отлично от и Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при так как тогда точка принадлежит прямой.

Аналогично при получаем

Заметим, что первое уравнение при замене на или на не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При и это уравнение имеет вид — луч с началом в точке и угловым коэффициентом Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке и с вершиной в точке и угловыми коэффициентами лучей

Во втором уравнении выделим полный квадрат Тогда это уравнение можно записать так:

Оно задает окружность с центром в точке и радиусом (в случае — это точка ).

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку или отрезку Так как и то получаем или Видно, что при этих есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке поэтому любое или подходит.

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной или имеет радиус, больший но меньший Мы уже знаем и так что осталось найти этот радиус (обозначим его ). Для этого опустим перпендикуляр на сторону угла с вершиной в точке Пусть — угол наклона прямой ( Тогда Так как то По теореме Пифагора для получаем Тогда

Разложим квадратный трёхчлен на множители и получим

Посмотрим на графики левой и правой части. Слева уголок с подвижными ветвями, зависящими от справа прямая с выколотой точкой.

Рассмотрим предельные случаи:

1) Когда ветвь уголка проходит через выколотую точки. То есть точка принадлежит уголку, тогда

2) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

3) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

Тогда из графиков видно, что уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда

Изобразим решение системы на координатной плоскости. Первое уравнение системы задает объединение двух дуг парабол: и , которое представляет из себя замкнутую линию. Второе уравнение системы при определяет на плоскости прямую , а при — два луча и с общим началом в точке . Прямая пересекает дуги парабол в точках и . Поэтому для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно, чтобы общее начало лучей лежало на отрезке .

Первое уравнение системы можно записать в виде

Второе уравнение системы преобразуется к виду и является уравнением окружности с центром в точке и радиусом . Эта окружность при любом значении проходит через точку и касается прямой Если то окружность лежит ниже прямой и данная система в этом случае имеет единственное решение При окружность вырождается в точку т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение Если же то окружность расположена выше прямой и система кроме решения будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой в том случае, когда окружность касается прямых и Это означает, что система

имеет единственное решение, т. е. уравнение имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так откуда т. е. Так как то получаем

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную , задаваемую уравнением и параболу , задаваемую уравнением Ломаная пересекается с параболой в точках с абсциссами и и положительными ординатами. Прямая , задаваемая уравнением касается параболы в точке Найдем при которых точка касания и является точкой пересечения и , то есть удовлетворяет уравнению . Имеем: при и при

Разберём случаи

• При или прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При и прямая пересекает в двух различных точках, одна из которых является точкой касания и . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получим т. е. .

Аналогично ищем , при котором параллельна прямой, задаваемой уравнением . Получаем , т. е. .

• При прямая пересекает ломаную в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
• При прямая пересекает в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
• При прямая не пересекается с Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.