.04 Билинейные формы. Симметричные билинейные формы. Квадратичные формы, нормальный вид, положительная определенность.

1. Определитель, разумеется, может зависеть (и будет зависеть) от выбора базиса. Пусть - матрица билинейной функции относительно некоторого базиса пространства . Выберем другой базис так, чтобы матрица перехода от старого базиса к новому имела определитель, равный 2.
(Так, конечно, всегда можно сделать. Например, можно в качестве первого вектора нового базиса взять удвоенный первый вектор старого базиса, а остальные вектора нового базиса взять такие же, как и в старом).

Тогда матрица той же функции в новом базисе будет

И ее определитель будет равен

То есть, как мы видим, определитель матрицы билинейной функции от смены базиса поменялся - он умножился на 4.

2. След тоже может поменяться. Скажем, если в некотором базисе матрица билинейной функции была такой

То выбрав новый базис в , который связан со старым соотношениями

Уже в этом новом базисе матрица той же самой билинейной функции будет

И, как мы видим, у старой матрицы след был равен 15, а у новой он равен 65.