Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Параметры на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104132

Отрезок длины $1$ двигали так, что оба его конца перемещались только по параболе $y = ax2,$ причём абсциссы соответствующих точек только возрастали. Весь отрезок первоначально находился в полуплоскости $x< 0,$ а в итоге оказался в полуплоскости $x > 0.$ Найдите множество всех возможных значений параметра $a$ .

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.8 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, у нас есть декартова система координат, и мы занимаемся сдвигом отрезка, как бы это всё выразить?

Подсказка 2

О, а давайте что-нибудь посчитаем через тригонометрию! Пусть наш отрезок PQ (причем у каждой точки есть свои координаты, их тоже можем ввести), Q' — проекция Q на абсциссу, будем выражать все через величину угла PQQ'

Подсказка 3

А что будем выражать?.. Например, можем выразить через разность координат абсцисс и ординат у концов отрезка, откуда получим функцию абсциссы одной из точек, зависящую от параметра и нашего угла. Хм, эта функция должна строго возрастать по условию..

Подсказка 4

Да, можно исследовать функцию, найти производную и показать, что при других значениях параметра мы не сможем выполнить условия.

Показать ответ и решение

Пусть $P (p;ap2)$ и $Q (q;aq2)$ — концы отрезка, причем $p >q$ и $PQ = 1$ . Обозначим через $φ$ величину угла $PQQ′$ , где $Q′$ — проекция точки Q на ось абсцисс. Тогда $2 2 q − p= − sinφ,aq− ap = cosφ$ , откуда $q =$ $ctgφ- sinφ − 2a − 2$ . Если функция $q = q(φ)$ , отображающая интервал $(0;π)$ в интервал $(−∞; +∞ )$ , строго возрастает, то отрезок длины 1 можно переместить так, как это указано в условии задачи.

Имеем $′ --1--- cosφ- q(φ)= 2asin2φ − 2$ . Неравенство $′ q(φ)≥ 0$ преобразуется к виду $2 1 sin φcosφ≤ a$ , а исследование функции $2 u(φ)= sin φcosφ$ показывает, что $-2- u(φ)≤ 3√3$ , причем равенство достигается только при $1- φ= φ0 = arccos√3$ . Это значит, что полуинтервал ( $√- 0;323$ ] принадлежит множеству искомых значений $a$ .

С другой стороны, при $√- a> 323$ имеем $q′(φ0)< 0$ , функция $q(φ)$ убывает в окрестности числа $φ0$ и движение отрезка не может удовлетворять всем заданным условиям. Покажем также, что, если $√ - a > 323$ , то при движении отрезка обязательно был момент, когда выполнялось равенство $φ =φ0$ . В самом деле: для $p =0$ имеем равенства $q = − sinφ,aq2 = cosφ$ и, как следствие, соотношения $√ ---- cosφ= −-1+-2a4a2+1> 1− 12a > cosφ0$ и $φ <φ0$ . А при $p +q = 0$ имеем $cosφ =aq2− ap2 = 0,$ то есть $φ= π2 >φ0$ . Ввиду непрерывности изменения величины $φ$ и делаем вывод о существовании указанного момента.

Ответ:

$(0;3√3] 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81371

Каким наибольшим может быть значение выражения $A +B$ , если $A$ и $B$ – числа, удовлетворяющие следующей системе неравенств

( 3A +5B ≤11 |{ |( 4A +3B ≤10 7A +4B ≤18

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.2 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала поймём, что нам неудобно работать с величинами A и B. Так как нам нужно максимизировать не их, а их сумму (это не всегда одно и то же, если мы максимизируем каждое по отдельности, у нас может получиться оценка, которая не достигается), то давайте обозначим за S = A + B сумму этих чисел и заменим везде в неравенствах, чтобы в них фигурировало только S и A (система с тремя переменная - это совсем грустно). Тогда чтобы решить задачу, нам остаётся дать оценку на A снизу через S, так как тогда два вторых получившихся неравенства дадут нам выбор из минимумов

Подсказка 2

Подставляя оценку A >= (5S - 11) / 2. в два оставшихся неравенства, у нас получается оценка на S сверху. Значит, остаётся выбрать то, что даёт минимальную. И всё?

Подсказка 3

Конечно, нет. Нам нужно привести пример. Однако здесь, чтобы привести пример, достаточно просто «развернуть» наши действия, посмотреть в какой точке достигается равенство и так найти, чему должно быть равно А.

Показать ответ и решение

Обозначим за $S =A +B$ , тогда систему можно переписать в виде:

( 5S − 2A ≤11 |{ |( 3S +A ≤10 4S +3A ≤18

Представим первое неравенство, как $A ≥ 5S−11, 2$ тогда получаем

(| 5S−-11-≤A { 11S2−11≤ 3S+ A≤ 10 |( 23S2−33≤ 4S+ 3A≤ 18 2

Откуда получаем оценку

( ) S ≤min 2⋅10-+11,18⋅2+-33- = 31 11 23 11

При этом равенство достигается в точке области

17 14 A= 11,B =11

(являющейся точкой пересечения прямых $3A +5B = 11,4A+ 3B =10$ ).

Ответ:

$31 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81380

При каких значениях параметра $b$ существует прямая, касающаяся графика функции $f(x)=x4+ bx2+x$ в двух точках? Для каждого такого значения параметра $b$ найдите уравнение соответствующей прямой.

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.7 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что означает касание? Какую систему нам нужно решать? Сколько корней у неё должно быть?

Подсказка 2

Касание происходит тогда, когда равны производные у прямой и функции, а также равны их значения в точке касания. Такая система должна иметь 2 решения. Как можно преобразовать систему и что можно заметить?

Подсказка 3

x^4 + bx^2 = (k-1)x + m и 4x^3 + 2bx = k-1. Не похоже ли это на условие какого-нибудь касания? Сколько решений может иметь такая система при различных b?

Подсказка 4

То есть должна существовать прямая y=(k-1)x + m, которая касается графика y=x^4 + bx^2. Очень часто количество решений можно узнать, если исследовать монотонность обеих частей.

Подсказка 5

Рассмотрите производную x^4 + bx^2 при b различных знаков и найдите возможные точки касания!

Показать ответ и решение

Условие, что прямая вида $y =kx+ m$ касается графика $y = f(x)$ означает равенство функций и равенство производных в точке касания:

({ 4 2 x + bx +x =kx+ m (4x3+ 2bx+ 1= k

Нас интересует, когда эта система имеет ровно $2$ корня. Заметим, что система эквивалентна

( { x4 +bx2 = (k − 1)x+ m ( 4x3+ 2bx= k− 1

То есть должна существовать прямая $y =(k− 1)x +m$ , которая касается графика $y = x4+ bx2$ .

При $b≥ 0$ ее производная $4x3+ 2bx$ монотонная функция, а значит, $4x3+ 2bx= k− 1$ имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.

При $b< 0$ можно заметить, что касательные в точках локального минимума $∘--- x1,2 =± −-b 2$ (нашли их как корни производной $3 4x + 2bx =0$ ) имеют одинаковый коэффициент наклона $0$ , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая $b2 b2 b2 y =x41+ bx21 = 4-− 2-= −4$ будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке $x= 0$ касательная $y = 0$ ; в других же точках коэффициент наклона касательной не $0$ ).

Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем $2 k − 1 =0;m =− b 4$ . То есть искомая касательная это $2 y = x− b 4$ .

Ответ:

при $b <0$ , прямая $y =x− b2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63949

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

({ -1-- -1-- logx3 + logy3 = 1; ( y =3 − ax

не имеет решений?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.5 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем одз и преобразуем первое уравнение по свойствам логарифма! Как можно теперь выразить y через x?

Подсказка 2

Если вышло, что log_3(xy) = 1, то все верно) Тут мы получаем, что xy = 3, то есть y = 3/x. Давайте подставим во второе уравнение. Какие значения а мы теперь должны найти?

Подсказка 3

Мы должны найти все такие а, что полученное уравнение не имеет положительных корней, которые отличаются от 1 и 3. Наше уравнение выглядит как 3/x = 3 - ax. Домножим на x и получим ax^2 -3x + 3 = 0. Какие случаи стоит рассматривать?

Подсказка 4

Для начала можем посмотреть на a = 0, тогда уравнение не квадратное. С этим случаем легко разобраться. Со случаем a!=0 вот что можно делать: либо у него нет корней, либо они есть, либо они отрицательные, либо положительные корни - 1 или 3)

Показать ответ и решение

Область допустимых значений переменных задается условиями

x> 0,x⁄= 1,y >0,y ⁄= 1.

Из первого уравнения получаем

log3x+ log3y = 1

откуда $xy = 3$ .

Подставив $y = 3x$ во второе уравнение, получим

ax2− 3x+ 3= 0

Мы должны найти все такие $a$ , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.

Если $a= 0$ , то $x= 1$ единственный корень. Но $x⁄= 1$ .

Если же $a ⁄=0$ и дискриминант $D = 9$ - $12a$ отрицателен, то действительных корней нет вообще.

Итак при $a∈ {0}∪(34,+∞ )$ исходная система решений не имеет. При $a ≤ 34$ хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то $a = 23$ и уравнение $23x2− 3x+ 3= 0$ имеет также корень $x= 32$ , а исходная система имеет решение $(32;2).$

Ответ:

${0}∪(3,+∞ ) 4$