Тема Математический анализ

14 Поверхностные интегралы 1 и 2 рода

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64006

Вычислить поверхностный интеграл I рода

∫ (x+ y + z)dS Σ

2 2 2 2 Σ - поверхность x + y + z = a ,z ≥ 0

Показать ответ и решение

Наша поверхность представляет собой верхнюю полусферу с центром в начале координат радиуса $a$ .

Давайте перейдём к сферическим координатам $x = a cosφ cosψ,y = asinφ cosψ, z = a sin ψ$ , $φ ∈ [0,2π]$ , $ψ ∈ [0, π2]$ .

Кроме того, заметим, что, во-первых,

∫ ∫ ∫ ∫ (x + y + z)dS = xdS + ydS + zdS Σ Σ Σ Σ

И в силу того, что полусфера симметрична относительно плоскости $x = 0$ , а также относительно плоскости $y = 0$ , то получим, что $∫ ∫ xdS = 0, ydS = 0 Σ Σ$ . И остаётся, таким образом, вычислить только $∫ ΣzdS$ Вычисляем производные вектора $−→ r = (x(φ,ψ ),y(φ, ψ),z(φ,ψ))$ :
$−→′ rφ = (− asin φ cosψ,a cosφcos ψ,0)$ ,
$−→r′ = (− acosφ sin ψ,− asinφ sin ψ,a cosψ) ψ$ .

Тогда $E = |−→r′|2 = a : 2cos2ψ φ$ , $G = |−→r′|2 = a2 ψ$ , $F =< −→r′,−→r′ >= 0 φ ψ$ . То есть $--------- √ EG − F 2 = a2 cosψ$ .

Таким образом, можем теперь вычислить наш поверхностный интеграл: